* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

412' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 413 ; и выполнение задач, поставленных Коши, Гауссом и Вейерштрассом, требует разра­ ботки теоретических оснований арифме­ тики. На ряду с анализом бесконечно-малых была еще одна дисциплина, правильная по­ становка которой настоятельно требовала выяснения основоначал арифметики: это было учение о комплексных числах. Самый термин „комплексное число* был введен Гауссом только в 1813 г., а утвердился гораздо позже. Господствовал термин „мни­ мое число", который не вышел из употре­ бления еще и по сей день. Между тем эта точка зрения на комплексные числа, как на .мнимые", несуществующие числа, служи­ ла источником неисчислимых споров, со­ мнений и ошибок. Чтобы пролить полный свет и на это орудие математического ис­ следования, нужно было дать себе отчет в том, чтб такое число вообще. Чтобы дать строго научное построение теории ком­ плексных чисел, необходимо было сначала выяснить теоретические основания арифме­ тики „действительных" чисел, как их на­ зывают, следуя той же неудачной терми­ нологии. Не мало трудностей представило н обоснование учения об иррационально­ сти и даже обоснование отрицательных чисел. Вся история алгебры проникнута стремлением рассеять туман, окружавший вес эти основные орудия математического исследования. Эту задачу выполнили Грасс20. Арифметика Грассмана. В арифме­ тике интуиция играла еще бдлъшую роль, нежели в геометрии. Здесь формальное обоснование дисциплины даже не намеча­ лось, пока настоятельная потребность в этом не была выдвинута развитием анализа. Первые твердые шаги в этом направлении были сделаны Германом Гроссманом (см.). В 1844 г. вышло его „Учение о линей­ ном протяжении" („DieIineare Ausdehnungslehre"). Идеи этого замечательного сочине­ ния в его первоначальном виде (в 1862 г. он выпустил совершенно переработанное издание того же сочинения) весьма расплыв­ чаты; но, по существу, в них заложены ос­ новы конвенционалистического мировоззре­ ния и формального обоснования математики. Сочинение начинается вступлением, опре­ деляющим весь его характер. Мы приводили уже выше (ст. 406') эти вводные слова. С той же точки зрения Грассман в другом сочи­ нении, „Учебник арифметики* (1861), подхо­ дит к началам арифметики. Книга содержит обоснование учения о целых и дробных числах; однако, наиболее ценным является учение о целых числах, не только сохра­ нившееся до сих пор, но являющееся наи­ более прочным обоснованием арифметики. ман, Шредер, Гамильтон, Дедекинд. Кан­ тор и др. В основе грассмановой арифметики лежит натуральный ряд, т.-е. ряд терминов; (слов), символов (знаков), следующих друг за другом в определенном порядке в том смысле, что каждому члену этого ряда всегда соответствует определенный после­ дующий член, и каждому члену, кроме на­ чального, соответствует определенный пред­ шествующий член; член натурального ряда, следующий за членом а, будем обозначать через а'. Существенно важное значение при этом имеют два обстоятельства: во-первых^ ряд должен быть неограниченным, т.-е. за каждым членом всегда должен следовать некоторый член; во-вторых, все члены ряда должны быть различны, ни один из. них не может повториться. Элементы, или члены такого ряда мы и будем рассматри­ вать как числа (целые числа); точнее: под числами (мы будем пока иметь в виду только целые числа) мы будем разуметь члены натурального ряда. Начальный член натурального ряда будем обозначать символом 0, следующий символом 1; для каждого члена натурального ряда должно быть установлено наименование и обозна­ чение; допустим, что это возможно сде­ лать и что это осуществлено. В элементарной математике мы встре­ чались с приемом доказательства, извест­ ным под названием совершенной индук­ ции. Чтобы доказать закон составления подходящих дробей непрерывной дроби, показывают, что закон этот справедлив, для второй, для третьей дроби; затем до­ казывают, что, буде он справедлив для й-ой дроби, он справедлив также для (k 4-1) -ой дроби; отсюда заключают: он справедлив для 2-ой дроби, следовательно,— он справедлив для 3-й: будучи справедлив для 3-й дроби, он должен быть справед­ лив для 4-ой и т. д., т. е. он справед­ лив для каждой дроби. Этот прием приме­ няется и во многих других случаях. Грасс­ ман не только обнаружил, что в арифме­ тике натурального ряда все доказательства могут быть проведены методом совершен? ной индукции, но показал, что все основ* ные определения могут быть установлены: тем же приемом. Пусть а будет произвольный член нату­ рального ряда. Под символом a -f- 0 усло­ выразим равенством: вимся разуметь то же число а; это мы a-\-Q = a (1). Под символом a -J-1 условимся разуметь тот член натурального ряда, который следует за а. В соответствии с обозначе­ нием, уже принятым выше, это соглашение можно выразить равенством: а а ' (2).