* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

•404' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 405 * е и из года в год, из столетия в столетие дают один и тот же результат. И этим путем в течение тысячелетий эти истины глубоко внедрились в наше сознание, сде­ лались необходимым достоянием нашего ума. Может быть теперь ребенок уже не­ сет в себе зародыши этих знаний; но про­ исхождение их все-таки эмпирическое, они представляют собой результат вековых и массовых эмпирических переживаний. (Ср. XXVIII, 639/40). Как воззрения Канта, так и взгляды Милля вст| ечали решительные возражения. Учение об априорности геометрических истин встречало возражения двоякого рода: одни нссили, тяк сказать, эмпирический, другие—принципиальный характер. Воззре­ ния первого рола заключались в том, что априорные истины должны были бы быть достоянием всякого человека, независимо от уровня его развития; между тем усвое­ ние геометрических истин требует уже зна­ чительной интеллигентности и иногда не без труда дается лицам уже подготовлен­ ным. Возражения принципиального свой­ ства находились в связи с необычайным взмахом опытных наук в XIX ст. С ка­ ждым десятилетием крепло позитивное на­ правление мысли, крепло механистиче­ ское мировоззрение, материалистическое понимание всего окружающего. На этой почве априоризм Канта, естественно, отда­ вал метафизикой, тем более, что Кант на всю критику чистого разума смотрел как на теорию метафизики. И чем шире раз­ вертывались успехи эмпирических наук, чем глубже внедрялось материалистическое мировоззрение, тем яснее становился со­ вершенно метафизический характер учения Канта. Были сделаны многочисленные по­ пытки примирить учение Канта с воззре­ ниями эмпириС|Ов;но тенденциозная искус­ ственность этих попыток так ясна, что о них вряд ли даже стоит серьезно го­ ворить. Но и противники Канта не чув­ ствовали под своими учениями той твер­ дой почвы, которая во всех остальных отраслях естествознания крепла с каждым днем и часом. Самые убежденные эмпиристы не могли не чувствовать, что гео­ метрию от чисто эмпирических наук всетаки отделяет целая пропасть. Что в гео­ метрическом познании есть очень глубокий эмпирический элемент, в этом не может быть сомнений. Но совершенно особенная точность геометрии ставит ее в исключи­ тельное положение, и рассуждения Милля, несомненно, оставляют чувство неудовле­ творенности. Трудность заключается в том, чтобы эту особенную точность разъяснить до конца, найти ее источник, пр лить на этот вопрос полный яркий свет. Опыт, ведь, вообще не может дать ничего больше, чем он фактически устанавливает; это, между прочим, составляет основную точку зрения Милля как в теории индукции, так и в уче­ нии о силлогизме. Между тем вера в со­ вершенную точность этого рода предложе­ ний у нас гораздо глубже, нежели сознание, что опыт их подтверждает; опыт всегда' дает подтверждение этого только с при­ ближением. Более того, геометрические истины всегда относятся к идеальным обра­ зам, которые конкретно вообще нельзя вос­ произвести. Здесь происходит неизмеримо' более глубокий процесс отвлечения, чем в чисто экспериментальных науках; истолко­ вание этого процесса с его логической и психологической стороны оставалось не­ доступным. Именно в поисках за источни­ ком этих сомнений некоторые философы пытались примирить учение об априорности с чистым эмпиризмом; Раль и сейчас ещестоит на той точке зрения, что м=жду этими учениями нет глубокой разницы. Мы со­ вершенно убеждены, что попытки прими­ рения этих противоположных учений столь же безнадежны, как и попытки примире­ ния религии с наукой. Источник геометрического познания оста­ вался для этих философов неразгаданной загадкой. На помощь пришли геометры' и дали своеобразный ответ на этот вопрос Первым шагом в этом деле было откры­ тие неевклидовой геометрии, которая яв­ ляется такой же строгой, такой же незы­ блемой, такой же совершенной математиче­ ской системой, как и геометрия Евклида. Учение об априорности именно евклидовой геометрии с этим совершенно не вяжется. Как могла бы существовать другая геомет­ рия, если бы евклидова геометрия соста­ вляла неотделимую от человека форму его мышления? Это — первый этап на пути но­ вых воззрений. Далее выяснилось, что евкли­ дова же геометрия, как формальная система,, не связана непременно с теми представле­ ниями, которые мы с нею соединяем; она. может получать и иные интерпретации. Такие же разнообразные наглядные интер­ претации получили и другие геометриче­ ские системы. Разница лишь в том, что евклидова система чаще получает приме­ нение к окружающим нас предметам. Таким образом, выработалось сознание, что гео­ метрия есть наука чисто формальная. Основные ее положения представляют со­ бой не истины априорного происхождения (Кант), не научные гипотезы (Риман) или факты, заимствованные из опыта (Гельм­ гольц, Милль), а формальные, условно уста­ навливаемые положения (постулаты); прин­ ципиально эти постулаты подчинены только одному требованию—они не должны на­ ходиться во взаимном логическом противо­ речии. Фактическая же ценность их заклку-