* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
'400' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 40Г лучаем систему основных положений, впол не определяющих евклидово пространство. Конечно, чтобы вполне отчетливо себе уяс нить систему геометрии, в этом порядке идей построенную, необходимо проделать доказательства важнейших теорем. Система, во всяком случае, дает формальное обосно вание геометрии. В качестве недостатка этой системы в литературе указывали, что она вводит в геометрию с первых же шагов число. Между тем геометрию надлежит развивать чисто геометрическими средствами, не при бегая к арифметике: geometriam geometrice. Однако, метрическую часть геометрии, т.-е. учение об измерении длин, площадей и объемов, невозможно строить, не поль зуясь арифметикой. Вопрос, таким обра зом, только в том, с какого момента обра щаться к арифметическим средствам. Всю геометрию положения действительно можно построить, не прибегая к арифметическим средствам; для этого необходимо четыре теоремы о расположении точек на прямой, выше здесь приведенные, ввести в качестве .постулатов. Так Гильберт и поступает. В его системе постулаты распадаются на о групп. Первую образуют постулаты связи: две точки определяют прямую;—три точки, не лежащие на одной прямой, определяют плоскость; — если две точки лежат на пло скости, то и прямая, ими определяемая, целиком лежит в той же плоскости; в си стеме Гильберта все эти предложения пред ставляют собою постулаты. Вторую группу образуют постулаты, относящиеся к распо ложению точек на прямой; по существу они мало отличаются от приведенных выше четырех предложений. Третью группу обра зуют постулаты, относящиеся к движению. Четвертую группу образуют аксиомы о не прерывности; к этим идеям мы еще воз вратимся ниже. Наконец, пятую группу составляет постулат Евклида, который Гильберт, впрочем, вводит раньше. После всех этих исследований было опубликовано еще немало работ, упрощаю щих геометрическую систему, устанавли вающих логические посылки проективной геометрии, эллиптической или гиперболи ческой геометрии и т. д. Но по существу задача о формальном построении геометрии разрешена. 17. Гносеологический подход к теоре тическим основам геометрии. Все рас суждения, которыми мы занимались выше, имели источник методологический. Самая задача ставилась как определенный метод построения системы геометрии; все внима ние было сосредоточено на тех перипетиях научной мысли, которые прямо или кос венно веля к разрешению этой задачи. Но в самой тесной связи с этой проблемой стоит другой вопрос—-об источнике математиче ского познания вообще, геометрического-~в частности. Откуда почерпнуты, каким пу тем добыты наши представления о про странстве, соотношения между простран ственными образами и те геометрические предложения, которые служат выражением пространственных соотношений? Геометрия разматывается дедуктивными средствами из небольшого числа посылок. Но каким обра зом установлены или приобретены эти по сылки? Вряд ли будет преувеличено, если мы скажем,что интересы гносеологии (науки об источниках нашего познания, см. теория познания) были более всего сосредоточены на этом именно вопросе. Он занимал умы философов уже в глубокой древности; он часто служит предметом ожесточенного спора в наши дни. Аристотель в заклю чительной главе „Второй Аналитики" клас сифицирует различные точки зрения на этот вопрос, по существу, так же, как это через два с лишком тысячелетия сделал Гельмгольц. В своей „Физиологической Оптике * Гельм гольц определенно формулирует две точки зрения на этот предмет, которые характери зуют два основных взгляда, по отношению к этому вопросу сложившиеся. Одни счи тают, что источник наших геометрических познаний коренится в тех свойствах на шего духа, которые мы несем с собой от рождения; философов, отстаивающих эту точку зрения, Гельмгольц называет нати вистами. Другие признают наблюдение и опыт единственным источником познания, а потому считают, что и геометрические наши познания мы черпаем из того же кладезя; этих философов Гельмгольц назы вает эмпиристами. В эпоху Гельмгольца уже нельзя было ограничиться общей схе мой, и потому он эту характеристику углубляет. Нативисты усматривают источ ник наших пространственных представле ний в нашей организации, в самом устройстве нервной системы, органа зрения, органа осязания. Они считают, что спо собом восприятия впечатлений, который обусловливается устройством органов вос приятия, определяется и то, как мы от носим эти восприятия во внешний мир, как мы их локализируем во времени и в пространстве. Устройством глаза и зри тельных центров определяется не только то, как мы воспринимаем впечатления, про изводимые телами на орган зрения, но и то, как мы эти впечатления, так сказать, про ецируем во-вне. Напротив, эмпиристы при писывают в процессе приобретения про странственных представлений преимуще ственное значение упражнению, сознатель ному и бессознательному опыту, часто связанному с волевыми побуждениями и вообще с психологическими мотивами. 4