* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
398' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 399' Постулат III. Если некоторое движе вращение вокруг точек А и В, приводя ние совмещает точки А_и В с точками щее точку С в точку С. Пользуясь всеми этими постулатами, А' и В', то расстояния АВ и А'В' равны. Этот постулат устанавливает, что расстоя можно легко установить, что движение, ние между двумя точками при движении оставляющее две точки в покое, оставляет в покое и прямую, их соединяющую. остается инвариантным. Сопряжения, представляющие собою дви Но если движение оставляет в покое три жения в нашем пространстве, ничем бли точки, не лежащие на одной прямой, сме жайшим образом не охарактеризованы; щает ли оно другие точки? В некоторых это могут быть даже несовершенные со пространствах такое смещение происходит, пряжения. Четвертый постулат устраняет а в других оно не имеет места. Сообразно этому мы можем установить следующий зту возможность. Постулат IV- Никакое движение не постулат: Постулат VII. Если некоторое дви приводит двух различных точек про странства в совмещение с одной и той жение оставляет в покое в точки, не лежащие на одной прямой, то оно оста же точкой. Пятый постулат устанавливает, что дви вляет в покое все точки пространства. Остающиеся постулаты связаны с поня жения образуют группу. Постулат V. Каковы бы ни были дви тием о плоскости. В это! системе разра жения $ и $' в пространстве, сущеботки геометрии понятие о плоскости свя ствует движение SS', заменяющее по зывается с геометрическим местом точек, одинаково удаленных от двух данных то следовательное производство их. Содержание постулатов I I I - V можно вы чек. В некоторых пространствах этим гео разить коротко и совместно так: движения метрическим местом служит только одна представляют собою группу совершенных точка (середина отрезка, соединяющего эти преобразований, для которых расстояния точки); в других пространствах этим геоме представляют собой инварианты. Таким об трическим местом служит прямая (напри разом, эти постулаты являются выражением мер, если это есть двухмерное евклидово точки зрения С. Ли на сущность движений. пространство); наконец, существуют про Если некоторое движение оставляет ка странства, в которых это геометрическое кую-либо точку в покое (т.-е. сопрягает ее место имеет также точки, не расположен одной прямой. с самой собою, относит ее к самой себе ные наместо точек, равноЕсли геометри ческое удаленных ох в качестве соответствующей., еще иначе— двух точек, содержит точки, не располо преобразовывает ее в самое себя), то оно на одной прямой, то мы называется вращением вокруг этой точки.женные его плоскостью. Вместебудем на зывать с тем Если движение оставляет в покое несколь можем установить следующий постулат: мы ко точек или какой-либо образ, то ово на Постулат VIII. В пространстве суще зывается вращением вокруг этих точек ствует плоскость. или вокруг этого образа. Положим, что в некотором пространстве «Положим, что точки А и В лежат вне вращение вокруг двух точек А я В при плоскости Р. Если отрезок АВ не встре водит точку С в совмещение с точкой С. чает плоскости, то говорят, что точки А и В расположены по одну сторону от плоско В таком случае в силу постулата Ш сти; если отрезок АВ встречает плоскость, то говорят,что точки расположены по разные АС=АС'н ВС = ВС' (I). стороны от плоскости. Пусть А,В,С будут три точки, не принадлежащие плоскости, Положим теперь, обратно, что имеют при чем точки А и В и точки В к С распо место соотношения (I). Всегда ли при этих ложены по одну сторону от плоскости. Бу условиях в пространстве существует вра дут ли точки А и С также расположены щение вокруг точек А и В, совмещающее по одну сторону от нее? В протииность точку С с точкой С? Исследование обна всей нашей интуиции бывают простран руживает, что существуют пространства, ства, в которых это не имеет места. Мы удовлетворяющие установленным уже пяти можем поэтому установить постулат: Постулат IX. Если точки А и В, а постулатам, но этому требованию не удо влетворяющие; существуют также про также точки В и С расположены по одну странства, в которых это требование удо сторону некоторой от плоскости, то влетворено. Сообразно этому мы можем точки АиС также расположены по одну сторону от той же плоскости. установить следующий постулат: Эти 9 постулатов оставляю! выбор только Постулат VI. Если точки С и С одинаково удалены как от точки А, между геометрией Евклида и геометрией так и от точки В, т.-е., если имеют Лобачевского. Поэтому, присоединяя в ка место соотношения (1), то существует честве десятого постулат Евклида, мы по-