* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

396' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 397' пространства, в которых между одними гия. Если точка О на прямой АВ лежит точками имеются промежуточные точки между точками Л и В, то говорят, что а между другими их нет. Существуют про­ точки А нВ лежат по разные стороны от странства, в которых между двумя точками точки О; если точка О прямой АВ не при­ на определенных от них расстояниях есть надлежит отрезку АВ, то говорят, что точ­ промежуточные точки, а на других рас­ ки А и В лежат по одну сторону от точки О. Эти понятия вводят нас в учение о стояниях — нет. Наконец, существуют про­ странства, в которых между любыми двумя расположении точек на прямой. Следующие точками А н В существует промежуточная четыре теоремы составляют основу этого точка. В соответствии с этим мы можем учения. условиться сделать предметом своего иссле­ 1) Если три точки А, В и С располо­ дования только такие пространства, в ко­ жены прямолинейно и точка В лежит, торых выполняется следующее требование при этом между А и С, то четвертая (постулат): точка D не может лежать одновре­ Постулат 1. Между любыми двумя менно между А и В и между В и С. точками А и В, на любом расстоянии, 2) Если точки А, В и С расположены, меньшем АВ, от любой из них. имеется прямолинейно и точка В лежит между А и С, а четвертая точка D располо­ промежуточная точка. Этим постулатом из числа всех возмож­ жена между А и В. то точка В лежит ных пространств выделена очень обширная между D и С. группа. Подчиняя пространства этой груп­ 3) Если три точки А, В и С располо­ пы новым требованиям, мы будем их все жены прямолинейно, при чем В лежит, более и более специфицировать, отпечатле­ между А и С, а четвертая точка D ле­ вая их особенности. Совокупность точек, жит между А и В, то точка D лежит, обладающих тем свойством, что любые три между точками А и С. из них расположены прямолинейно, мы бу­ 4) Если четыре точки А,В,С и D об­ дем называть прямолинейным образом. разуют прямолинейный образ и при Пусть А и В будут две точки некоторого этом как точка В, так и точка D рас пространства, удовлетворяющего первому положены между А и С, то точка D постулату. Положим, что каждая из точек лежит либо между А и В, либо между С и D расположена прямолинейно относи­ В и С. тельно точек А к В . Образуют ли четыре Опираясь на эти теоремы можно доказать точки А, В , С и D прямолинейный образ? предложение, составляющее наиболее су­ Иными словами, влечет ли то обстоятель­ щественную часть учения о расположении ство, что точки С и D расположены пря­ точек на прямой. Оно заключается в сле­ молинейно относительно точек А и В, так­ же прямолинейное ртсположение точки А дующем. Если О есть некоторая точка пря­ относительно С и D и точки В относи­ мой линии, то все остальные точки на этой тельно С и D? Исследование обнаруживает, прямой распадаются на две категории, об­ что иногда это имеет место, иногда нет. ладающие следующими свойствами: если Мы можем ограничиться изучением тех Л и В суть точки одной и той же катего­ пространств, в которых это имеет место, и рии, то они расположены по одну сторону соответственно этому поставить следующее от точки О; если же точка Л принадлежит одной категории, а точка В принадлежит требование; другой, то точки А и В расположены по Постулат П. Если точки С и D распо­ ложены прямолинейно относительно то­ разные стороны от точки О. Эти две катего­ чек А и В , то и обратно, точки А и В рии точек образуют две стороны прямой расположены прямолинейно относитель­ относительно точки О или две стороны, на которые точка О делит прямую. Мы но точек С и D. приходим, таким образом, к формальному В пространстве, удовлетворяющем этим двум постулатам, мы будем называть пря¬ обоснованию важного понятия, которым мой АВ образ, состоящий из двух точек мы обыкновенно владеем исключительно А и В и всех тех точек пространства, ко­ интуитивно. Теперь обратимся к движениям. По опре­ торые расположены прямолинейно относи­ делению, это суть какие угодно сопряже­ тельно А я В. Основываясь на приведен­ ных двух постулатах, можно доказать, что ния пространства с самим собою. В виду прямая представляет собою прямолинейный этого возможны просгранст а, в которых образ и вполне определяется любыми дву­ при совмещении точек Л и В с точками А' и В' расстояния АВ и А'В' могут не быть мя своими точками. равны между собой; в других пространствах Совокупность точек прямой АВ, лежащих между точками Л и В, образует вместе с точ­ при этих условиях АВ = А'В'. Мы можем ками А и В отрезок АВ. В тесной связи выделить эти последние пространства. Это •с этим находится и следующая терминоло­ приводит к следующему постулату: