* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

394' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 395* геометрии. геометрии? Ответ на это только один: при строго дедуктивном обосновании геомет­ рии точкой отправления должны служить такие понятия, которые лежат за пределами геометрии, как, например: предметы, или объекты, совокупности, сопряжения и т. п. Этими понятиями мы пользуемся не только в геометрии, но и во всякой другой дис­ циплине. Всякие действительно геометри­ ческие понятия должны быть определены. Итак, при помощи понятий, так сказать, загеометрических (т.-е. вне пределов гео­ метрии лежащих) должны быть определены основные понятия геометрии: точки, углы, линии, поверхности, движения. Эти поня­ тия должны быть связаны основными по­ ложениями— постулатами или аксиома­ ми. Постулаты должны быть логически совместны, но независимы между собой. Это значит, что ни один из постулатов не должен противоречить другим и не должен представлять собой следствие остальных. То и другое, т.-е. логическая совместность и логическая независимость, должны быть доказаны. Чтобы доказать логическую со­ вместность основных положений, необхо­ димо показать, что существует такая интер­ претация, или такое осуществление системы постулатов, при которой все они оказы­ ваются справедливыми. В самом деле, если существует такая система объектов, на ко­ торой оправдываются все основные поло­ жения, то противоречия между ними нет. Далее, чтобы доказать логическую незави­ симость одного постулата от остальных, нужно дать такую интерпретацию всей системы, при которой все остальные поло­ жения (т.-е. все постулаты, кроме того, не­ зависимость которого мы доказываем) осу­ ществлены, этот же постулат несправед­ лив. Таким образом, если система содер­ жит, скажем, 7 постулатов, то нужно дать 8 интерпретаций, из которых одна должна удовлетворять всем „требованиям* (посту­ латам), каждая же из остальных должна удовлетворять 6 требованиям, а 7-му не удовлетворять. Первая строго формальная система гео­ метрии была предложена германским мате­ матиком Д. Гильбертом (Hubert, род. 1862) в 1899 г. в юбилейном сборнике, выпущен­ ном по поводу открытия памятника Гаус­ су и Веберу в Геттиигене. Она обладает чрезвычайно высокими достоинствами, хо­ тя в отдельных своих пунктах и встретила серьезные возражения, потребовавшие ис­ правления некоторых постулатов. Система Гильберта довольно сложна, и изложение ее здесь потребовало бы много новых разъяснений. Чтобы дать понятие о по­ строении формальной геометрической си­ стемы в порядке выраженных выше идей, мы изложим здесь систему, предложенную автором настоящей статьи в 1905 г. в со­ чинении „Основания геометрии". 16. Система евклидовой Положим, что мы имеем какое-либо мно­ жество, или многообразие, элементами ко­ торого могут быть какие угодно объекты. В этом многообразии установим различные сопряжения его с самим собою; как мы видели выше, это всегда возможно сделать в любом многообразии. Сопряжения эти могут быть какие угодно; мы даже не предполагаем, что это должны быть непре­ менно совершенные сопряжения. Далее, каждой паре различных элементов этого многообразия отнесем произвольно выбран­ ное арифметическое число, отличное от нуля; это также, конечно, можно выполнить разнообразнейшими способами. Таким образом, мы будем иметь много­ образие, в котором установлена некоторая система сопряжений его элементов и каж­ дой паре элементов соответствует некото­ рое арифметическое число произвольно, по нашему усмотрению, ей отнесенное. Когда этот процесс выполнен (т.-е. когда установлены сопряжения и арифметические числа, отнесенные каждой паре элементов), мы будем называть многообразие геоме­ трическим пространством,, его элемен­ ты— точками, установленные в нем со­ пряжения— движениями, а числа, отнесен­ ные парам точек, расстояниями между точками. Так как эти сопряжения (движе­ ния) можно устанавливать чрезвычайно разнообразно и разнообразно же можно распределять между точками расстояния, то чрезвычайно разнообразны могут быть пространства. Соотношения, проистекающие из характера установленных в пространстве движений и расстояний, и составляют гео­ метрию этого пространства. Два пространства могут отличаться мно­ гообразиями, служащими для каждого из них субстратом; при выбранном многооб­ разии они могут отличаться царящими в. них движениями; при тех же движениях они могут различаться расстояниями между точками. Пусть А, В, С будут три точки некото­ рого пространства; им соответствуют три расстояния АВ, ВС, АС; положим, что ~АС есть большее из этих трех чисел. Может случиться, что АС — АВ + ВС; в таком случае мы будем говорить, что точки А, В и С расположены прямолинейно и точка В лежит между точками А и С. Так как распределение расстояний между точками может быть сделано совершенно произвольно (при самом построении про­ странства), то возможны пространства, в которых прямолинейное расположение трех точек вовсе не имеет места. Существуют 3*