* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

392' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 393*" ные значения, то все производные равны нулю, и кривизна евклидова пространства равна нулю во всякой точке и во всякой геодезической площадке, эту точку окру­ жающей. Евклидово пространство трех измерений есть пространство постоян­ ной (нулевой) кривизны. Имея выражение элемента длины в трех­ мерном пространстве Лобачевского, или, как говорят теперь, в трехмерном гипербо­ лическом пространстве, Риман вычислил здесь кривизну и обнаружил, что оно имеет постоянную отрицательную кривизну. У Римана, естественно, возник вопрос о том, нельзя ли построить пространство с постоянной положительной кривизной. Ри­ ман обнаружил, что это возможно, и это привело к новой геометрии—римановой в узком смысле слова. Риманова геометрия есть геометрия пространства постоян­ ной положительной кривизны. Эта гео­ метрия чрезвычайно своеобразна. Здесь все геодезические линии — замкнутые конеч­ ные кривые; риманово пространство имеет, таким образом, конечные размеры. Парал­ лельных линий здесь не существует: всякие две геодезические линии пересекаются и притом в двух точках. Образцом рима­ нова пространства двух измерений служит сфера. Клейн построил в евклидовом про­ странстве интерпретацию трехмерного ри­ манова пространства, руководясь теми же идеями Кели, которые его привели к интер­ претации гиперболического пространства. Следуя идеям Римана, Бельтрами пока­ зал, как можно построить пространство постоянной кривизны любого числа изме рений. Ограничимся только замечанием, что во всяком пространстве постоянной кривизны п измерений элемент длины мо­ жет быть приведен к виду d s , d*t + dxf + dxj +...+ 2 dx * n t где К есть кривизна пространства. При К — 0 мы получаем обычное выражение элемента длины в евклидовом простран­ стве; при АГ> О это есть выражение квад­ рата элемента длины в эллиптическом про­ странстве, при К < 0 — в гиперболиче­ ском. Пространство четырех измерений в на­ стоящее время приобрело большое значе­ ние в теоретической физике. С точки зре­ ния Эйнштейна, для описания соотношений между реальными предметами на всем про­ тяжении мироздания наиболее целесообраз­ ным является пользоваться римановой гео­ метрией (см. теория относительности, 423/24. сл.). 15. Обоснование геометрии. Возвратимся теперь к тому вопросу, который послужил источником всего этого ряда новых и свое­ образных идей, т.-е. к вопросу о пятом постулате Евклида. Какой вывод можно сделать относительно этого постулата из того обстоятельства, что геометрия Лоба­ чевского оказалось логически правильной? Если бы пятый постулат представлял со­ бой следствие из остальных постулатов Евклида, то противоположное допущение как мы уже не раз указывали, неизбежно' приводило бы к абсурду. Раз такого абсурдамы не получаем, то это означает, что с остальными постулатами Евклида одина­ ково совместимы как пятый постулат, так и противоположное положение. Пятый по­ стулат не представляет собою логического следствия из остальных основных положе­ ний Евклида и доказан быть не может. Это выражают в настоящее время так: пятый постулат Евклида представляет собою положение, не зависящее от осталь­ ных его основных положений. Он не­ избежно должен быть внесен в число основ­ ных положений или должен быть заменен равносильным ему постулатом, коль скоромы желаем синтетически построить евкли­ дову геометрию. Вопрос о пробеле в теории параллель­ ных линий, таким образом, совершенно исчерпан. Но, конечно, в оценке значения идей, к которым привела неевклидова гео­ метрия, это только первый шаг. Идеи эти устанавливают, как вообще должно быть выполнено логическое обоснование геомет­ рии. Самым существенным результатом всех изложенных выше рассуждений являет­ ся сознание, что геометрические понятия (термины) не связаны неразрывно с теми наглядными представлениями, которые мы привычно и традиционно с ними соединяем. Напротив, геометрические истины суть фор­ мальные суждения, которые могут полу­ чать осуществление на весьма разнообраз­ ных объектах. Поэтому, формально-логи­ ческое построение системы геометрии мо­ жет действительно удовлетворять требова­ ниям дедуктивной логики только в том случае, если основные понятия будут так определены, чтобы они совершенно не бы­ ли связаны с какими бы то ни было реаль­ ными представлениями. Это должны быть термины, под которые могут быть подведены разнообразные объекты. Вне этого усло­ вия нет и не может быть речи о действи­ тельно логическом, о формально-дедук­ тивном построении геометрии. Однако, всякая дедуктивная дисциплина необходимо имеет точки отправления, так называемые основные понятия, определению уже не подлежащие. Каковы должны быть основ­ ные понятия при формальном построении.