* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

384' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 385' вида MP, проходящие внутри углов DMC и CMD', „прямой" АВ не встречают (точ­ ка встречи этих прямых в обыкновенном значении этого слова лежит за пределами абсолюта, за пределами нашей .плоскости": „прямой" АВ в этой „плоскости" является только обыкновенный отрезок CD, а пото­ му „прямая" MP „прямой" АВяе встречает). Из сказанного следует, что мы находимся в отношении параллельных линий в усло­ виях геометрии Лобачевского. „Прямые" MD и МС отделяют встречающие прямые от не встречающих; это — две „прямые", выходящие из „точки" М и параллельные „прямой" АВ; они встречают „прямую* АВ в бесконечности, как и должно быть в ги­ перболической геометрии. Отсюда следует, что интерпретация Клейна осуществляет геометрию Лобачевского на плоскости в полной мере. И действительно, можно шаг за шагом развивать геометрию этой „пло­ скости", и мы убедимся, что она вполне совпадает с планиметрией Лобачевского. В краткой статье Кели показал, что здесь имеет место тригонометрия гиперболиче­ ской плоскости. Клейн построил всю гипер­ болическую геометрию на основе этих идей. При этом он не ограничился плоскостью. Все идеи Кели-Клейна чрезвычайно легко получают распространение на трехмерное пространство. В трехмерном пространстве существует группа коллинеаций, которая имеет инвариантом ангармоническое отно­ шение четырех коллинеарных точек. Вы­ брав произвольно поверхность второго по­ рядка, лучше всего сферу, можно выде­ лить те проективные преобразования, которые оставляют ее без изменения. Эти преобразования образуют группу, в кото­ рой инвариант имеют две точки; этому ин­ варианту можно придать тем же путем дизъюнктивную и аддитивную форму. Остальное выполняется в том же порядке. Таким образом, получается полная интер­ претация не только гиперболической пла­ ниметрии, но и стереометрии. Кели и Клейн показали, что существует ряд образов (объектов), по отношению к которым гиперболическая геометрия спра­ ведлива вся, без каких бы то ни было исключений, и сомнений в ее логической правильности больше существовать не могло; во всяком случае, такие сомнения могли бы возникнуть относительно геомет­ рии Лобачевского не в большей мере, не­ жели относительно геометрии Евклида. 14. Идеи Римана. В то время, как Бельтрами, Гельмгольц, Ли, Кели, Клейн дали неевклидовой геометрии направление, кото­ рое можно назвать чисто геометрическим, посмертный мемуар Римана (см.) дал им другое направление, которое будет уместно назвать аналитическим. Мемуар, о котором идет речь, предста­ вляет собою пробную лекцию (HabHitationscolloquium), которую Риман прочел в 1854 г. для приобретения звания приватдоцента геттингенского университета. Темадля лекции: „О гипотезах, лежащих в осно­ вании геометрии" была избрана Гауссом из числа трех, намеченных Риманом. Это» была лекция, прочитанная Риманом для Гаусса. Этим объясняется чрезвычайная, сжатость изложения. На протяжении не­ скольких страниц намечен ряд чрезвычай­ но глубоких и совершенно новых идейНи вычислений, ни доказательств высказы­ ваемых Риманом утверждений мемуар не содержит. Понадобилось много труда, что­ бы осуществить эти вычисления и дать, необходимые доказательства. В 1868 г. Дедекинд извлек этот мемуар из наследия Римана и опубликовал его. Идеи Римана трудны не только вследствие сжатого изло­ жения, но и по существу своему. Между тем, именно они приобрели в последнее время исключительное значение не только в геометрии, но и в теоретической физике. Вряд ли было бы поэтому возможным; обойти эти идеи в настоящем очерке; но изложить их в доступном виде не легко; читатель, не владеющий необходимыми для. их понимания сведениями из дифферен­ циальной геометрии, может эту главу опустить. Для того, чтобы определить простран­ ство, необходимо располагать понятием более общим, из которого понятие про­ странства можно было бы выделить, ука­ зав его особенности, его видовые отличия. Таким более общим понятием, по взгляду Римана, должно служить многообразие, или множество. Этим понятием мы уже пользовались; оно заимствовано Кантором у Римана. Историческая перспектива в на­ стоящем очерке местами принесена в жертву ясности идеи. Риман отличает многообразия' дискретные и непрерывные. В дискретных многообразиях каждый элемент существенно отделен от других; к числу их относитсякаждое множество, состоящее из конечного числа элементов. В непрерывном много­ образии элементы следуют один за другим без промежутков; сюда относятся: линии,, поверхности, пространство, как совокуп­ ность точек, совокупность цветов; вообще Риман указывает, что число непрерывных многообразий невелико; если речь идет о* конкретных множествах, то это, конечно, справедливо. Положение точки на прямой может быть определено одной координатой, на поверх­ ности—двумя, в пространстве—тремя коор­ динатами. Риман выделяет те непрерывные многообразия, в которых элемент может быть задан определенным числом коорди-