* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 383' 382' щается не в 0, а в 1; требование, которым виях, характеризующих расстояние по воз­ определяется дизъюнктавность инварианта, зрениям Гельмгольца и Ли. не соблюдено. Не лучше обстоит дело и Положим теперь, что „точка* А остается с аддитивностью. Пусть точка М лежит на на месте, а „точка" В передвигается по прямой АВ между точками А и В. Тогда прямой АВ к точке С. Когда „точка" В не­ в соответствии с определением: ограниченно приближается к С, то ВС стре­ мится к нулю; поэтому отношение АС: ВС стремится к бесконечности; отношение AD-.BD стремится к конечному пределу AD: CD; поэтому ангармоническое от­ (АМ) = (АМСО)=^Ш ношение (2) стремится к бесконечности, а вместе с тем к бесконечности стремится (MB)^(MBCD) = ^ ~ и его логарифм, т.-е. „расстояние" АС. Точки абсолюта, таким образом, являются бесконечно удаленными .точками* нашей Отсюда легко усмотреть, что „плоскости* Вместе с тем каждый конеч­ (AB)=z(AMHMB); ный „отрезок* можно продолжить на не­ ограниченное „расстояние*. это соотношение вообще не совпадает с Таким образом, в нашей плоскости имеют соотношением (АВ) = (AM) -f- (MB), кото­ место основные постулаты Евклида, явно рым определяется аддитивность инварианта. Однако, эти дефекты нетрудно испра­ и неязно у него выраженные: через каж­ вить одним приемом. Как было выяснено дые две „точки" проходит одна и только выше, если (А В) есть инвариант двух то­ одна „прямая"; каждый „прямолинейный чек, то и всякая другая функция от АВ отрезок" можно продолжить в обе стороны есть инвариант. В соответствии с этим по­ на „неограниченное расстояние"; от каждой „точки* по каждой „прямой" можно отло­ ложим жить в обе стороны любое „расстояние", AB = log(AB) (2), а потому вокруг каждой „точки* можно взяв логарифм при каком угодно основа­ описать „окружность* любым радиусом. Чтобы отдать себе отчет в том, какова нии, превышающем 1. будет геометрия этой „плоскости*, остается Тогда соотношения дают: выяснить вопрос о пятом постулате Евклида. АА = log (А А) = О АМ + MB = log (AM) -flog (MB) = — log (AB) = AB. Итак, инвариант АВ, определенный соот­ ношением (2), обладает как дизъюнктивностью по отношению к двум точкам, так и аддитивностью по отношению к трем коллинеарным точкам. Руководствуясь этим, условимся теперь под .расстоянием" между двумя .точками" разуметь число АВ, опре­ деляемое соотношением (2). Напомним, что при составлении ангармонического отноше­ ния (ABCD) мы условились под С разуметь ту точку абсолюта, которая лежит за точ­ кой В, под D— ту точку, которая лежит за точкой А. Поэтому ЛС'.ВС>1, AD:BD 1; •следовательно, АВ = log (АВ) > 0. .Расстояние" между двумя „точками* выражается положительным числом. Это число обращается в нуль, когда две „точ­ ки* совпадают. Если три „точки* располо­ жены на одной „прямой", то большее из трех расстояний, ими определяемых, равно сумме двух других. Мы находимся в усло­ Пусть АВ будет какая-либо „прямая* в нашей „плоскости* (рис. 24), М—„точка", вне ее лежащая. Через нее проведем пря­ мые МС и MD. Легко видеть, что все „прямые" вида MN, проходящие через точку М внутри углов CMD и CMC/. встречают „прямую* АВ; „прямые" же