* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

354' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 355'* рой возможны передвижения фигур с теми В тесной связи с этим находится вопрос, же степенями свободы, как на плоскости представляющий собой частный случай пре­ и на сфере. Геодезическими линиями слу­ дыдущего. жат предельные линии. Благодаря этому Если мы вырежем кусок поверхности в гиперболическом пространстве можно раз­ обыкновенного круглого конуса то путем вивать геометрию методом наложения еще его изгибания его можно передвинуть в лю­ на предельной поверхности. Мы видели, бое другое место на том же самом конусе. каким обильным источником идей это об­ На конической и на цилиндрической поверх­ стоятельство послужило для Лобачевского ности, таким образом, возможно передви­ и Больай. В гиперболической поверхности жение частей поверхности, сопровождаемое,, есть также еще один тип поверхностей, на правда, деформацией, но такой деформа­ которых возможно построение геометрии цией, которая сводится только к изгибанию. в том же порядке идей; это так называ­ Но это возможно не на всякой поверх­ емые поверхности равных расстояний. Но ности. С поверхности трехосного эллипсо­ геометрия этих поверхностей формально ида, например,-нельзя срезать куска, при­ совпадает с геометрией гиперболической легающего к вершине меньшей оси, и пе­ плоскости. редвинуть его к вершине большей оси, Итак, если принять правильной геомет­ или наоборот; попытка сделать это неиз­ рию Лобачевского, то в гиперболическом бежно поведет к разрывам или складкам, пространстве имеется троякого типа дву­ на передвигаемой фигуре. мерная геометрия: гиперболическая—это Возьмем поверхность, на которой такого геометрия плоскости (и поверхностей рав­ рода движения возможны,—скажем, поверх­ ных расстояний), евклидова, или, как ее ность круглого цилиндра. Условимся на­ иначе называют, параболическая, и сфери­ зывать две фигуры на поверхности цилиндра; ческая—геометрия сферы. Возвращаясь, од­ конгруэнтными, если они могут быть при­ нако, к евклидову пространству, мы вновь ведены в совмещение путем такого пере­ должны указать, что зтесь есть только две движения одной из них по поверхности ци­ поверхности, по которым возможны сво­ линдра, т.-е. передвижения, сопровожда­ бодные передвижения фигур без деформа­ емого изгибанием поверхности. На рис. 11 ции: плоскость и сфера; и, сообразно этому, изображены три криволинейных треуголь­ возможны только две двумерные геомет­ ника. В обычном смысле слова треугольники рии, развиваемые методом наложения,— эти не конгруэнтны, ибо наложить один на плоская и сферическая. другой без деформации невозможно; но в. Знаменитый мемуар Гаусса .Disquisitio- новом, расширенном значении этого слова, nes generates circa superficies curvas", опу­ т.-е. путем наложения, сопровождаемого бликованный в 1827 г., дал, однако, этим изгибанием, такое совмещение возможно,, идеям новое направление. В этом мемуа- и потому в новом смысле слова эти три ре Гаусс рассматривает поверхность как треугольника конгруэнтны. Ясно, что при этом новом понимании гибкую пленку. Под изгибанием поверх­ ности он разумеет такую ее деформацию, идеи наложения расширится число поверх­ при которой не происходит растяжение ностей, на которых можно строить геомет­ длин нанесенных на ней кривых; это вле­ рию, пользуясь методом наложения. Кони­ чет за собой неизменность и углов между ческие и цилиндрические поверхности пред­ кривыми. Обычное изгибание листа бумаги ставляют собой простейшие примеры такихили нерастяжимой материи может служить поверхностей. Разберемся в том, какова наглядным представлением об этом геомет­ будет геометрия цилиндра; для этого обра­ рическом процессе. Имея кусок материи, тим внимание на то обстоятельство, чтомы часто можем ее так изогнуть, чтобы цилиндрическую поверхность можно обра­ она без растяжений и складок покрыла зовать путем свертывания плоскости, или другую поверхность. Этот процесс называ­ что на цилиндрическую поверхность можно ется наложением одной поверхности на навернуть плоскость. Геодезическими ли­ другую, или развертыванием одной поверх­ ниями на цилиндрической поверхности бу­ ности на другой. Он сопровождается де­ дут служить те кривые, по которым рас­ формацией, но при этой деформации не положатся прямые плоскости. Если пред­ меняется ни одна длина, не меняются углы, ставим себе вертикальный круглый цилиндр не образуется ни разрывов, ни складок. и вертикальный кусок плоскости, то при Легко понять, что не всякая поверхность навертывании последней на цилиндри­ может быть развернута на любую другую. ческую поверхность вертикальные прямые Так, поверхность сферы нельзя никоим останутся прямыми линиями, горизонталь­ образом ни развернуть, ни наложить на ные свернутся в окружности, а наклонные плоскость. Гауссом поставлен вопрос о изовьются в винтовые линии различного том, при каких условиях возможно развер­ хода. На рис. 11 в среднем из трех изобра­ тывание одной поверхности на другой женных на нем прямоугольных геодези-