* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
352' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 353" тельства логической правильности новой геометрии. Как ни твердо было его субъ ективное убеждение в том, что неевклидова геометрия никаких противоречий в себе не содержит, для ученого, не предубежден ного ни в ту, ни в другую сторону, все же оставался открытым вопрос, не приве дет ли в дальнейшем развитии, конца ко торому нет, новая геометрия к противоре чию. Лобачевский искал строгого доказатель ства того, что это невозможно, что его гео метрия логически не менее безупречна, чем евклидова. Он подходит к этой зада че с различных сторон. Главным доводом в его глазах является применение неев клидовой геометрии к вычислению опреде ленных интегралов. Идея заключается в том, что вычисляемый интеграл трактуется как некоторая площадь, или объем, или масса в гиперболическом пространстве. Эта точка зрения дает возможность вычислить значе ние интеграла средствами неевклидовой геометрии; а затем интеграл вычисляется независимо от неевклидовой геометрии, и результат неизменно получается тот же самый. Подходит он к тому же вопросу и с других точек зрения, и по существу его рассуждения почти имеют доказательную силу; но они не доделаны, не досказаны, пожалуй, не додуманы. Лобачевский унес с собой в могилу только субъективное убеждение в логической правильности со зданной им системы; строго установить ее незыблемую логическую достоверность было дано наследникам его научного до стояния. Все пути к этому, в настоящее время разнообразные, основываются на интерпре тации неевклидовой геометрии. Это есть новая идея, которая в своем развитии при вела к глубокому перевороту во взглядах на существо и значение геометрии. Это— тот источник, из которого был пролит яр кий свет на Т. о. м. Точкой отправления здесь служат сообра жения, с которыми мы уже встречались выше. Нам приходилось уже говорить о том, что различные поверхности имеют свою геометрию. Планиметрия есть геомет рия плоскости, сферика есть геометрия ша ровой поверхности, и, как было уже выяс нено выше, основными образами на плоско сти служат точки и прямые линии, на сфере — точки и окружности больших кру гов. Планиметрия изучает прежде всего углы и фигуры, ограниченные прямыми ли ниями; сферическая геометрия изучает углы и фигуры, ограниченные окружностями больших кругов. Что сближает между со бой окружности больших кругов на сфере и прямые на плоскости? Дуга окружности большого круга на сфере представляет со бой кратчайшее расстояние между двумя точками, совершенно так же, как отрезокпрямой представляет собой кратчайшеерасстояние на плоскости. Но на каждой поверхности существуют линии, предста вляющие собой кратчайшие пути, по ко торым на этой поверхности можно пройти от одной точки к другой. (Некоторые осо бенные поверхности, с которыми дело об стоит в этом отношении не вполне благопо лучно, оставим в стороне). Такие линии называются геодезическими линиями по верхности; прямые суть геодезические ли нии на плоскости, окружности больших кругов—геодезические линии на сфере Основные линии, которыми оперируют плоская и сферическая геометрия, суть гео дезические линии соответствующей поверх ности. Отсюда, естественно, возникает во прос, нельзя ли в том же порядке идей:: строить геометрию на любой другой по верхности, принимая за основные образьп точки и геодезические линии этой поверх ности. Однако, на пути осуществления этой идеи стоит одно препятствие, о ко тором мы тоже уже выше упоминали. Как плоская, так и сферическая геометрия опери руют методом наложения, находяшим себе: на этих поверхностях применение благода ря тому, что как на плоскости, так и Hat сфере любая часть поверхности может по ней совершенно свободно передвигаться без. растяжений, без изгибов, без складок, вооб ще без всякой деформации. Возможность таких движений составляет основную пре зумпцию при построении геометрии; в том, порядке идей и методов, в каком строя геяплоская и сферическая геометрии, можноразвивать геометрию только на таких по верхностях, на которых передвижение фи гур без деформации возможно с той же сьободой, как на плоскости и на сфере: без этого нельзя говорить о равных отрез ках; о больших и меньших отрезках; оравных, больших и меньших углах; о кон груэнтных треугольниках и т. д. Вообще без возможности производить эти движе ния нельзя оперировать теми понятиями, которыми, можно сказать, проникнуты все предложения плоской и сферической гео метрии. Но, кроме плоскости и сферы, в евклидовом пространстве нет поверхности,, на которой было бы возможно свободное передвижение частей. Поэтому, плоскостью и сферой, по существу, исчерпываются те поверхности евклидова пространства, на которых можно развивать — методом нало жения — двумерную геометрию их геодези ческих линий и геодезических фигур. Идея исчерпана тем, что классическая геометрия, уже дала. В гиперболическом пространстве, как мы видели, дело обстоит более благо приятно. Там существует еще так называ емая предельная поверхность, на кото-