* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 351' имеет Другое значение, то геометрия каж­ размеры фигуры. Это приводит Лобачев­ дого пространства определялась бы значе­ ского к мысли, что вера в евклидову гео­ метрию, быть может, представляет собой нием этой константы. В соответствии с этим иллюзию, вызванную тем, что мы обитаем этой постоянной присвоено название радиу­ в ничтожном уголке мирового пространства, са кривизны пространства, а число — — в пределах которого линейные размеры совершенно незначительны по сравнению называется кривизной пространства. Этос радиусом кривизны пространства. «аходится в согласии с тем, что кривизна Располагая тригонометрией гиперболи­ ческого пространства и соотношением (4), сферы радиуса R. выражается числом Лобачевский имеет возможность установить здесь только взят знак минус. Причины, всю его метрику, имеет возможность про­ к этому приводящие, будут указаны ниже; изводить измерение длин, площадей и объ­ покамест эта терминология выясняет, по­ емов, имеет возможность развить аналити­ чему пространство, в котором имеет место ческую геометрию. Новая геометрическая геометрия Лобачевского, принято называть система получает весь тот обхват, всю ту ширь, которую имела классическая геомет­ пространством постоянной отрицатель­ ной кривизны. Из иных соображений — рия. Произвольный же параметр, харак­ может быть, менее подходящих — систему теризующий кривизну, придает системе не­ Лобачевского принято также называть ги­ измеримо большую мощность, и евклидова геометрия получает в ней скромное место, перболической геометрией. как уже сказано, предельного частного Если мы себе представим, что в соотно­ шении (4), при определенном значении х, случая. Система, построенная Больай, не так де­ R возрастает, то вместе с ним возрастет и угол П (х), приближаясь к прямому. Ины­ тально разработана, как у Лобачевского; ми словами, угол параллельности, соответ­ ко многим вопросам он подходит другими ствующий данному отрезку х, тем больше, методами, другими путями. Но по суще­ тем ближе к прямому углу, чем больше R, ству это вполне та же самая система. 7. Интерпретация неевклидовой гео­ т.-е., чем меньше по абсолютной величине кривизна пространства. Когда R обращает­ метрии. Творцы неевклидовой геометрии — ся в со, кривизна пространства пре­ Гаусс, сохранивший свои идеи в строгой вращается в 0. В соотношении (4) правая тайне, Лобачевский и Больай—имели глубо­ часть обращается в 1 и, следовательно, П (х) кое убеждение в том, что эта геометриче­ обращается в постоянную, в прямой угол. ская система логически так же совершенна, Эго означает следующее: если кривизна как и система Евклида, и никаких противо­ •пространства обращается в 0, и из точки речий в себе не содержит. Эго убеждение О проведен перпендикуляр ON к прямой овладевает всяким, кто изучит основные АВ, то прямая, проходящая через О па­ работы Лобачевского и Больай. Но изучить раллельно к АВ, всегда перпендикулярна к их не легко; даже Гаусс, которому эти ON, как это имеет место в евклидовой идеи были так близки, говорил, что рабо­ ты Лобачевского представляют собой непро­ геометрии. ходимые дебри. Людям же, далеким от этого Вместе с тем вся геометрия переходит своеобразного миросозерцания, все эти евклидову. Формально, таким образом, идеи вообще существует бесчисленное множество гео­ же нелепыми, казались неприемлемыми, да­ а тяжеловесные метрических систем, одной из которых явля­ Лобачевского усиливали это рассуждения впечатление. ется геометрия Евклида. Она представляет Гаусс достаточно прозорливо предусмотрел, собой предельный и простейший частный что этот глубокий переворот в области случай. Более того, если обе части в каж­ столь установившейся доктрины, как гео­ дом из тригонометрических уравнений (3) метрия, вызовет отрицательное к себе отно­ развернуть в ряды по возрастающим сте- шение. Так оно и случилось. Немногие а b с читали работы Лобачевского, а те, которые пеням отношений > » и сохра­ читали, либо издевались над его идеями, нить только первые члены этих отношений, либо оставили их совсем без внимания. Они то мы получим соотношение евклидовой долго не получали ни признания, ни рас­ геометрии. Пренебречь высшими степенями пространения. Для обоих творцов неевкли­ этих отношений можно только в том слу­ довой геометрии молчание Гаусса и прене­ чае, когда они очень малы, т.-е., когда сто­ брежительное отношение остального мате­ роны треугольника ABC очень малы по матического мира к их творению, вели­ сравнению с R, Это значат: в гиперболиче­ чие которого они явственно ощущали, ском пространстве, какова бы ни была его было источником глубокой жизненной тра­ кривизна, метрические соотношения тем гедии. Но Лобачевский тщательно искал л iкг подходят к евклидова*, чем мгньш е для самого себя неопровержимого доказа;