* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

330' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 331 г порциях проведено Евклидом (по-видимому, тельно даже, есть ли надобность доказывать по схеме, ранее установленной Евдоксом) многие геометрические предложения, ко­ без малейшего уклона в сторону ариф­ торых интуитивная ясность не вызывает ни­ метики; это учение есть одно из замеча­ каких возражений. В этом порядке раз­ тельнейших творений греческого гения. вертывается геометрическое творчество, иду­ Достоинства .Начал" Евклида, именно щее всегда путем интуитивного усмотре­ как выдержанной логической системы, на­ ния и его примирения с возникающими столько высоки, что в течение почти двух от неправильной интуиции противоречиями; тысячелетий с ними не могло конкуриро­ на этой точке зрения мы стоим и в на­ вать ни одно сочинение по геометрии. Все стоящее время, когда обучаем начаткам руководства по геометрии представляли геометрии детей. Но не на этой точке зрения собой те же „Начала" Евклида, несколько стоял Евклид. Он ставил себе совершенно более приспособленные для понимания уча­ определенно задачу развить геометрию из щихся, но по существу мало от них отли­ небольшого числа предпосылок — опреде­ чавшиеся. При всем том, уже в глубокой лений, постулатов и аксиом—строго-логиче­ древности философы, уделившие „Началам" ски,—следовательно, дедуктивно, формаль­ много внимания, пришли к сознанию, что, но. Но выполнить эту задачу в полной мере при всех высоких достоинствах .Начал" ему далеко не удалось. Его дедукция, часто Евклида, его творение, как строго логи­ поражающая необычайной тонкостью мы­ ческая дедуктивная система, все же чрез­ сли, все же грешит против требований вычайно далеко от совершенства. Всякое формальной логики почти в каждом его дедуктивное логическое построение по су­ рассуждении, в каждом доказательстве. Вот ществу своему должно быть формальным. через внутреннюю точку круга проведена Из посылок .все А суть В" и .все В суть прямая; Евклид утверждает, что эта прямая С" вытекает .все А суть С". Это строго пересечет периферию круга. На чем осно­ логический вывод (силлогизм Barbara). Пра­ вано это утверждение? На том, что это вильность вывода здесь совершенно не за­ ясно глазу, на тех наглядных предста­ висит от того, что мы разумеем под тер­ влениях, которые мы соединяем с прямою минами А, В и С. Не от содержания по­ и с кругом. Две крайние точки отрезка нятий, которыми мы оперируем в дедук­ лежат на двух различных сторонах тре­ тивном построении, не от тех образов угольника; Евклид утверждает, что все и представлений, которые мы с этими остальные точки отрезка лежат внутри понятиями соединяем, зависит правиль­ треугольника. Ясно, что он апеллирует ность дедукции, а от формы, по которой здесь к интуиции. Легко понять, что Ев<посылки и сделанный из них вывод по­ клид совершенно бессилен это утверждение строены: если эта форма соблюдена, то доказать, потому что среди его определений умозаключение правильно, какое бы со­ нет определения понятий „внутри* и .вне", держание мы ни вкладывали в термины, нет, следовательно, материала, на котором входящие в посылки. Это именно разумеют, можно было бы такое доказательство осно­ когда говорят, что чисто дедуктивный вы­ вать. Число таких отступлений от чистой вод по существу своему неизбежно носит дедукции у Евклида чрезвычайно велико; совершенно формальный характер; и в этом дедукция и интуиция постояьно перепле­ его коренное отличие от диалектической таются в его системе. При всей своей логики. стройности, при всей своей мощи, логически Применяя эти соображения к геометри­ она еще далека от действительного уста­ ческой дедукции, мы приходим к тому, что новления теоретических основ геометрии. Между тем действительное и безупречное строго логический вывод геометрического предложения также должен носить совер­ установление этих основ—то под напором шенно формальный характер, т.-е. должен развертывавшегося фактического материала, основываться исключительно на правилах то в обстановке общего направления фило­ построения силлогизма, а не на тех обра­ софской мысли — в высшей мере занималозах, которые мы соединяем с геометри­ умы геометров и философов, начиная с со­ ческими понятиями. Мы определенным об­ временников Евклида и до наших дней. разом представляем себе прямую линию, И так как в пору, весьма близкую к Ев­ плоскость, круг, многоугольник. Если эти клиду, уже выработалось сознание, что представления играют роль в ходе умоза­ система Евклида не удовлетворяет всем ключения, то чистой дедукции уже нет: требованиям формальной логики, то очень вывод представляет собою смесь логическо­ рано возникают попытки восполнить эти го умозаключения и наглядных, интуитив­ пробельилЭтой, задачей занимаются много­ ных соображений. Между тем, если раз­ численные awcjp^ . известные под общим: решить себе свободно пользоваться интуи­ да^лрж^комЦейтаторов Евклида. цией, то тяжелый аппарат Евклида во мно*< *^&Щ&Ш1ЦаЩО$Ъ1 Евклида. Из античных: г и х своих частях будет ненужен; сомни­ комментатора» наиболее- здмдешдоьяые— ? !