* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
326 Теоретические основания математики. 32Г /. Общая задача теоретического обосвить строго логический вывод из этих исход нования математики, Т. о. м. в настоящее ных положений. время превратились в самостоятельную дис Такие попытки дать строго логическое циплину, служащую фундаментом всего со обоснование геометрии относятся к глу временного точного знания. Вряд ли в обла бокой древности. Еще в V стол, до н. э. гео сти математики есть отрасль, потребовавшая метр Лев уже составил такого рода трактат •столь напряженной работы мысли, как обос по геометрии; за ним последовали другие ра нование ее начал. Возникновение учения об боты того же рода. Но ни одно из этих со основах математики и его эволюция имели чинений до нас не дошло; все они были за троякий источник: методологический, гно быты, когда появилось однэ из величайших сеологический и фактический. Методоло произведений научной мысли — .Начала" гический путь заключался в постоянном Евклида {см. XIII, 323/27). •стремлении провести построение всех отде 2. Система геометрииу Евклида. В три лов математики строго логически — дедук надцати книгах .Начал", посвященных пре тивно; гносеологический путь наметился в имущественно геометрии, Евклид не только процессе разыскания источников математи дает строго продуманную систему гео ческого познания; наконец, фактический ис метрии, но также глубоко проникает в уче точник исследований, относящихся к Т. о. м., ние о числе. Собственно геометрии по обусловливался тем, что фактическая разра священы книги I-VI и Х1-ХШ; они содержат ботка математического материала при до весь тот материал, который ныне принято статочном его углублении сделалась не называть элементарной геометрией. Все возможной без строгого обоснования начал построение выполнено для того времени математики. Не может подлежать сомнению, с таким совершенством, что вполне ориги •что именно этог последний путь к развитию нальным творением одного человека оно учения о Т. о. м. в действительности привел быть не могло; оно несомненно предста ко всем остальным вопросам, сюда относя вляет собой результат преемственного твор щимся. Элементарные эмпирические сведе чества нескольких поколений эллинских ния из геометрии и арифметики, которыми геометров, которое получило свое заверше располагали вавилоняне и египтяне, пе ние в бессмертном труде Езклида. Каждая стрили ошибками. Первые шаги в деле бо- книга начинается рядом определений, по .лее углубленного развития математики эти стулатов и аксиом. Под постулатами ошибки раскрыли. Нужно было не только (atm-pata—требования) Евклид разумеет их исправить, нужно было найти гарантии чисто геометрические положения — элемен к тому, чтобы их избежать в будущем. тарные свойства геометрических образов, Средства для этого заключались в том, настолько очевидные, что их без всяких со •чтобы в основу всей математики положить мнений и колебаний можно принять за ис •небольшое число истин, которые не вызы ходные положения. Самое же наименование вали бы никакого сомнения, и из них выв 2- .постулаты", т.-е. требования, обусловли сти весь материал этой науки. Эпоха пере вается диалектическим методом преподава хода от эмпирической математики к такому ния и распространения научных идей, кото логическому ее построению, в деталях рый господствовал в Греции в Александрий этого процесса, теряется в глубокой древ скую эпоху. Это делалось путем беседы-дис ности. Памятники античной науки развер пута; постулаты—это были те положения, ко тывают уже глубоко продуманную в ука торые должен был принять диспутант, чтобы занном смысле систему. он был уже по необходимости вынужден Методологический подход к обоснованию признать все дальнейшее, что желал уста математики начинает эту работу мысли. новить руководитель диспута; это были Логическая обработка математики опре логические требования, которые руково деленно сложилась и дала плодотворные дитель диалога или диспута предъявлял результаты только в Греции. А так как к остальным его участникам. В частности, в Греции преобладала геометрия, оста таким образом, постулаты геометрии—это вившая далеко позади все остальные от те требования, которые руководитель предъ расли математики, то дедуктивное напра являет к лицу, приступающему под его вление сказалось прежде всего в греческой руководством к изучению геометрии: он геометрии. Задача заключалась в том, чтобы должен признать их для себя ясными, не построить систему геометрии в форме не оспоримыми, он должен эти требовапия прерывной цепи логических выводов, раз принять, и тогда он будет вынужден при матывающихся из небольшого числа основ знать все последующее. И это гарантирует ных положений — определений и аксиом. и его и науку от ошибок. Кроме постулатов, у Евклида есть еще Определениями устанавливается смысл ос новных понятий, которыми геометрия опе аксиомы, uotvat ewouu, т.-е. общие досто рирует; аксиомы устанавливают их основ яния нашего ума. Это—положения, которые ные свойства. Все остальное должно соста не представляют собою специфически гео1