* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

313 Тензориальное исчисление. -j- г* -\-vz=f, то 1) при < = s; ^> = 2 зн „Тегко можно доказать теорему, что селя два тензора рангов р-\~а = п ж s - f £ - f м = t> = О •будет скаларом; 2) при q > $; р > г p lp — t + 1» *p — t + J ' • • • • fa *1> 2 > « • • * t t a будет тензором раяга g— s-4-.р — t-r-w-И. в которой g ji изображают его компоненты. Примером приложения этой теоремы слу­ Обозначим контрагредиентвый фундамен­ жат так наз. скаларное и векторное произ­ тальный тензор через g . ведение двух векторов Можно доказать, что £ ik SAiB — 1 Ф н i Ть = А>В*--А*£*. g ik В первом случае иы. имеем понижение ранга где g детерминант из всех д& и d его •по отношению к исходным тензорам, во вто­ мянор для члена с индексами г, Тс, будут ром—повышение. Несмотря на то, что тепзор компонентами когредпентного тензора. Пусть имеем тензор Ац молено показать, Tia второго ранга имеет девять компонент, что с обычной векториальной точки зрения (для прямоугольных прямолинейных координат) мы все же имеем только три компоненты. JTenco видеть, что у тензора Тш три ком­ где поненты Т\\ — 2*22 — ^аз — Р осталь­ ных удовлетворяют УСЛОВИЮ Tfc ~ — Гаг, \ = V а=11F 3& 4 — °М\ т.-е. попарно равны и противоположны по a i j£k* 2L A* dXii знаку, что соответствует понятию аксиальноши векторного произведения двух поляр­ будет тензором второго ранга; можно дока­ ных векторов. зать также, чго Так как в выражениях, подобных (6), знач­ ки, по которым производится суммирование, А всегда встречаются два раза — один раз вверху, а другой раз внизу, а значки, по dx дх которым не суммируется, только один раз— либо внизу, -либо вверху, то знак суммиро­ будет тензором второго равга, но что вания 2 часто опускают вовсе и его не пи­ дА дА шут. Чрезвычайно простые правила пользо­ вания значками делают Т. и. особенно удоб­ dxje дх ным орудием для вычислений. Тензориальний анализ. Задачей теззори-им не будет. заменяющие так наз. расхо­ Как пример, •ального анализа является получение новых ждение векторного анализа, моааю указать тензоров посредством различных дифферен­ циальных операций. Т. и. вводит понятие на скалар некоторого вспомогательного тензора, кото­ рый получает название фундаментального; ато название дается ему в виду того, что в некоторых специальных приложениях, на­ Можно было бы привести еще много других пример в дифференциальной геометрии и примеров образования тензоров дифферен­ механике, этот вспомогательный тензор имеет цированием. Для получения дифференцированием новых основное' значение. В геометрии, например, тепзоров вместо понятия фундаментального он определяет собой характер трехмерного тензора вводят также весьма важное понятие многообразия в квадратичной форме темзоршишого параметра. Тензориалъним ds 2 g dx dx^ параметром Г{ называют величину, котоа Т И i l : d9kl = 1 М* ( а k к { 2 = ik {