* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

31 Квадратура. о К. круга, остановимся на ней н е ­ сколько подробнее. Эта з а д а ч а может ь быть формулирована с л е д . обр.: по­ строить, пользуясь только циркулемъ и линейкою, квадратъ, равновелик! й данному кругу. Если м ы обозначимъ pafliycb к р у г а ч е р е з ъ г, то на основан ш теоремъ геометрш будемъ и м е т ь д л я длины окружности L выраженie L = 2itr, г д е тс есть отношеше окруж­ ности к ъ Д1аметру, а д л я площади круга S получимъ S= L г, • т. е. Квадратура обозначаете несколько родственныхъ понятш? I ) К. назыв. о п р е д е л е ш е площади фигуры, т. е. о п р е л * л е т е о т н о ш е т я данной пло­ щади к ъ площади квадрата, принятаго з а единицу м е р ы площадей. К. назыв. также п о с т р о е т е квадрата, равновеликаго площади данной фигуры, при чемъ п о с т р о е т е должно быть вы­ полнено геометрическими приемами. Очевидно, что э т а п о с л е д н я я з а д а ч а содержитъ в ъ себе первую. К-ы элементарвыхъпрямолинейныхъ плоскихъ фигуръ, напр., прямоугольника, тре­ угольника, выполнены еще в ъ древ­ ности, при ч е м ъ всегда можно по­ строить квадратъ, равновелишй такой площади, п р и м е н я я только элементар­ ные методы построения, т. е. пользуясь только циркулемъ и линейкою. Древ­ ности принадлежитъ также и выполне­ ние К. н е к о т о р ы х ъ криволинейныхъ фигуръ, напр. К. луночекъ Гиппократа, К. параболы, выполненная Архимедомъ (Ш в. до P. X.), и н а у ч н а я постановка и приближенное р е ш е т е знаменитой задачи о квадратурп круга, насчиты­ вающей ЗА собою свыше 3.000 л е т ь и породившей в м е с т е с ъ глубокими и з ъ и с к а т я м и чрезвычайное множество з а б л у ж д е т й и фантазШ. О т к р ы л о исч и с л е т я безконечно-малыхъ дало но­ в ы е обппе методы К. К-ы аналитически данныхъ областей, вообще, приводятся къ в ы ч и с л е т ю о п р е д е л е н н ы х ъ интеграловъ, при ч е м ъ области, д л я кото­ р ы х ъ такое п р и в е д е т е возможно, назы­ ваются квадрируемыми. Е с л и область, подлежащая К., дана графически, то е я К. можно выполнить механически при помощи особыхъ приборовъ, назыв а е м ы х ъ планиметрами. Наиболее и з ­ в е с т н ы планиметры Амзлера, Коради, Притца; они и м е ю т ъ широкое приMenenie в ъ межевомъ д е л е . Можно также разбить данную область попе­ речными прямыми на элементарный области, напр., прямоугольники, трапецш, площади которыхъ можно опре­ д е л и т ь по правиламъ элементарной геометрш; в ъ с л у ч а е криволинейно сти контура его обыкновенно з а м е н я ю т ъ ломаною л и ш е й с ъ ббльшимъ или меньшимъ числомъ сторонъ в ъ зависи­ мости о т ъ требуемой точности. площадь круга равна площади т р е ­ угольника, основашемъ котораго слу­ ж и т ь длина окружности, а высотою— рад1усъ. Т. обр., задача приводится: 1) к ъ в ы ч и с л е т ю числа 2) к ъ построенш прямолинейнаго отрезка, длина котораго равна д л и н е окруж­ ности, или к ъ с прям л енпо окружности. Архимедъ первый научно поставилъ эту з а д а ч у и, пользуясь методомъ, который и теперь излагается во в с е х ъ элементарныхъ учебникахъ геометрп!, нашелъ приближенное зна22 1 ч е т е л = у = 3 у . Последующее ма­ тематики о п р е д е л я л итсвсе с ъ большею точностью; такъ, Лудольфъ ( X V I в.) на­ шелъ з н а ч е ш е к с ъ 35 десятичными знаками. О т к р ы л о исчисления безко­ нечно-малыхъ дало новые, более про­ стые методы в ы ч и с л е ш я числа тс (такъ, Ш е н к с ъ в ъ X I X в. нашелъ тс с ъ 700 десятич. знаками) и позволило вы­ яснить свойства этого числа. В ъ 1766 г. Л а м б е р т ъ доказалъ иррациональность числа тс, а в ъ 1882 г. Линдеманъ д а л ь доказательство его трансцендентности (см. число). И з ъ предложешя Линдемана с л е д у е т ъ , что окружность не можеть быть спрямлена не только т а ­ кими геометрическими п о с т р о е т я м и , в ъ которыхъ пользуются прямыми и окружностями, т. е. линейкою и цир­ кулемъ, но даже и такими, в ъ кото­ р ы х ъ пользуются любыми алгебраиче­ скими л и ш я м и и поверхностями. И з ъ предыдущаго ясно, что это же предложеше и м е е т ъ м е с т о и д л я К. круга, т. е., в ъ частности, К. круга циркулемъ и линейкою невыполнима, х о т я численно площадь круга и можеть быть найдена с ъ любою степенью точности. Вследств1в особой важности задачи II. Т а к ъ к а к ъ вычнслеше и н т е г р а л а