* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

13 1 ИСЧНСЛЕНГЕ КОНЕЧНЫХ. РАЗНОСТЕЙ. 14 = Б , T = 4; следователь по. и t n , s сосдипввъ между совою отъ руки ила прн помощи лекалъ вти точки (Хф, уд), (Х|, У|),... ленрорывною кривою, ны непосредственно на чертеж* можемъ измерить ординату в* правой часта уравнен! я (29) стояла хвхяя-пнбудь y = f (а), соответствующую абсцисс* ж — е . Этот» функп1л Г(х), то общДВ интеграл* былъ бы равен* с по со бъ—саны К удобный, когда пе требуется бохьшо! какому-нибудь частному вптегрвлу уравноп!я, сложен­ точности (сн. чврт. 1). ному съ иыражеп1ск* (31). Например*, нропвтегрнруемъ уравнен!» гдувоь ypaxxeHle по г будет» г — 9г + 20 = 0 , х С, 5 * + С , 4 . Еехн бы e n I — I + 20 п 9n j + j • х. = Ат-j-B; Бухом* певать часпгыЗ ватеграхь вида ТОГДА а_ + t = = * 0 + -> + В. n А<х4-2)-1- В. Вставим* отв зпачех1я въ разсматрннаемоб yptnneulc; мы полтчнмъ (12 А — I) х -|-12 В — 7 А == 0, н мы удовле­ • творим* ра*см*трпдпомомууралнеп1ю, в э я и ъ 1 2 А — 1 = 0 1 7 в 12 В — 7 А е 0, откуда, А е_ -тт—, В = - - —• Слвдовательпо, общ!В янтегралъ давпаго уравпен1я будетъ % = ~j^T ~Г~ ~ j ^ T - + Oi 5 -1-С_4 . Ыожпо также рас­ Черт. 1, n ж Х сматривать системы со в u i сто ыхъ уравпспШ. Пояскхмъ + = М + = 0 т 2) Методъ параСолич. интерполированы. Подыскива­ это на следующем* пример* . « " « х + * " . (а —постояв.). ем* многочлен* вида f (i)=a -f-a x-f-H x*4'...-j-a x Положи нъ n^=Mr , T ^ ^ N T ; тогда пата уранпе 1' коэффипДепты в степень котораго определятся из* дан­ ных* у слов! И задачи. Если рааноета х,— Xg, х.—х,,... раададугъ Mr-j-Ka = 0, Д1* -(- Nr — 0. Исключая отсюда ллчны, то можно воспользоваться формулою Да\рахжл, М к N, будемъ нм*ть которая дает* для повэв*ствоВ фупки1и f (х) првблвженное иыражепю F (х) г a =rr> — а * = 0 ; (X — X0(X — Xj) ... { * — х „ ) a г следовательно, Г|==а, г,— — а . Вставляя апачел1я г въ уравпен'е Mr-fNasO, мы получимъ или К,=—М„илн (х-хьХх-х,) (х-х ) Xts-f-M*, я общ'я ре men.а предложенной спстомы будутъ ^ *" *о) ( * | - * з ) -» ( Х | - « п ) п = М , а* + Щ С-а) , r = - - V л* -}• М, ( - а ) . , г/, л (х-х Нх-х )...(х-х ) + ( - ) x - x x - x x - x . W Ыожпо раэсматрпаать также уравясп.я хлффереиа1алънсВ* самом* д*л*, например*, прв х ~ Х| не* дроби в* раэпоотныя, хак*, например*, ypaaneuie формул* (32) обратятся въ пуль, хром* второй, которая обратится в* единицу, в ми получнн* Р ( « | ) ~ Г ( х ) ; П — П _|_ X Т А*. точно так* жо, прн х гг х-,, ны будем* вм*т* в (Хо) = * к-f- I х Т = (*е). прн х ss x подучим* F (>•) = Г (x ) н т. д . Да­ Попытаемся удовлетворить атому урааоеШю, поло­ вая переменному х значен.е а, ны получим* F(«), ко­ жив* n = o ; мы получлмъе ( o — l - | - n i ) = 0; торое я будем* счета ib првближейнынъ зпачеи1с>нъ ко­ следовательно, мы можем* представить ватеград* раз- личества Г (а). Найдем*, например*, аначеа.е фуяиц'и, сжатрнлаомаго уравпои.я въ над* o = C e i + соответствующее впачеШю х = 3, еслв аэвъошо, что -f- Cj о * - J - , , , , ГД* Ci, С-... — произвольный посто- апачеп.ям* х = 2, 4, S соотв*тогвуют* иначеnU фупхц1в в, 8,3. В* втомъ случае >е = 2, х = 4, x ш 5, r f x j s t , янпыл, в Bi|, га.,... — корпи уравпоп!л o — l-j-in=0. f (х,) = 8. t(xj = 3 , а = 3 , ж мы им*ем* по формул* (32) Так1я с мЬ шал пыл уравпел1я встречаются, напримтръ, 1? .-^(*-*Ux-6) , <х~2)(х-5) , ,(х-2)(х-4? въ алаляз* прв раэложеп'и въ ряди, въ нохапик* въ ' ( —4) (2 - 5) Т ° (4 - 2) (4—Б) ' (5 - 2) (6 - 4) * теор1в даижен'я сочлепевмыхъ систсмъ н т. д. Разно- нлн, поел* упрощал И, стаыми уравпев1ями пользуются во мпогнхъ вопросах* F ( ) = { х - 4 ) ( х - 5 ) - 4 ( х - 2 ) ( х - Б ) - | - ( х - 2 ) ( х - 4 ) . математика в особепяо въ ея приложвя1лх*, но теорш Вставляя сюда эначен!е х = « = 3, получим* ирпблиихъ рвэработапа зпачвтельво хен*в тсор1я двффорен- жонпое вначеШе для f ( i ) — F(1) = 9. Выполняя ум ко­ же н1л в* F(x), будем* внетъ F(x) — — 2х* -(- 13х — 12. ц1альпыхъ уравпапШ. Вели же ас* разности xi-Xe=xr-Xir=., С —X п •—J IV. Задача иитгрполироеатл, ве въ еамомъ ея об­ щемъ виде, состоить въ следующеиъ: Даны еначен{* между собою равны, то можно воспользоваться также /("оЬ f (*i).—i f( n) аналитически нештантй функ­ формулою Пьютона. Для втого Обратимся к* формул* цШ f(x), еоотечпитпауюиф! значешямв SQ, ac я ав- (в). Положим* въ пен х = а, a - f - o b = x : тогда мы „ х—а х—а—рЪ „ , п—р= , ж бавоtgMttmof опрвдплитъ OHoveuie f (а), саотвптстеующеебудемъ хм*ть а — знпч1Н1ю х j i аргумента, жаключиющвыусл между край­ ними енач*н(лми а ^ и х „ ( л < в < х ) . Какъ мы уви- х1альны1.воэффнц1евтъ С ' примет* вид* С ^ — п п джагь ваъ всего дальнейшего, ptmenie вто! вадачя со_п(п-1)...(п-р+1)_(х-а)(х-в—Ь)...Гх-а—<р-1)Ь] держвгъ много произвола, 1) Мы можем* прим*япть метод* графим, интерполи­ 1,2...р.Ь рования. Для итого ва плоскости прямоугольных* ос с В ко¬ Вставляя втв авачен.я въ формулу (С), ны х полу­ ордината отм*твм* точки fy„ = Г(х ),х 1, |у(.=Гlx,),x,J,...i чим* Формулу Ньютона > 0 t t a J x 1 1 д Х Х х x t а | п f X ( n o ) ( n l H n n l ) 1 г t t m i m x r a x m x 1 1 т ж m ( s в K f = 0 2 х x t п в я 1 Л Р Р 0 0