* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
5
ИСЧИСЛЕН]Е КОНЕЧНЫХЪ РАЗНОСТЕЙ.
6
О предел ев te фувкпди Р (х) возможно только въ очень повтому мы будем* вмвть ограниченных* случаях*. Прлводемъ здесь несколько _ (N+1) У _ _ { Н + 1 ) г Т ( У - 1 ) , ( У + 1 ) Я _ й,, — , Si — з f g — простей max* примеров*. 31 и внвдв
A
,(-/b)
= m h
. (»-W
x
i A i
x
= a
x ^h_^_
g S
_ .
. Дт ;
х п х т
2т Ди
t m + 1 / h )
2Д(п т )—
(Н)
это кость искомая формула. Такъ как* 2 А ( » х к ) — V («/h)„ f у . (m+*/h)_x = п т + 0 , то формула (14) сводить операц'ю —(ш + ц Ь / Ь й х T ( m + l ) h f С, (11) 2 т Д п къ операвДв 2 +Ъ Д -*, которая может* быть эначитехьво проще. Прооуммируем*, нвлрнмър», 2о, =—г 2 Дв =—г J- С, И) фуякпДю х в * . Положим* для простоты Ъ. = 1; тогда, а —1 —1
x 1 х х п т г х ж
Отсюда, будем* вмвть
1
Х
2
2.т '
2з1в
т
Т
2 х а = — ^ - г 2 х . Д о , в задача приводятся в* яичиа —1 слеп!ю 2 х Д а " .
х
х
< 1 в ( 1
„ь±,
)
+
с
,
(13)
х
Ыы видим*, что въ рассматриваемом* случае «• —
х х х
1 (
н = а * , о + 1 = а*"И. Д т = 1, в формула (14) дает*
где С — произвольное поотояпиое. V А-* xv-K + 1 к V * х а^-Н Такъ какъ вех кал целая положительная степень х =xa> —aZa =:х* — : разлагается ве фактор1аланъ (форнула 2), то формула (11) Zx£& —х а —Za решает* аоороеъ о сунмвровая)в всякаго многочлена. a—1Примт,ппмъ формулу (9) къ оумвшроваи1к> рядов* V х xa o*"^" ,„ поэтому Z xa = -—г — — r r j + С. Цримепям* noa i (—J j * a N+ 1 N S, = l + 2 + 3 + ... + N = лученный" результат* к* аычлелен'ю сунны 2 х а ; мы 1 1 будем* иметь по формуле (9) N+I 1 1 l.a + 2.*»+3.a + ... + (N Г)»* " = Г — S - = H + 2*+3i + . . . + M ' = 2 *. -' La—1 y+ 1 1 (a-l)»J [ t , - l (*-1>»Г N+ 1 Еслв а < 1, то при неограавчевнохъ яозрастандя 8, = 1 » + 2 > + 3 » + . . . + Н ' = 2**' числа N холнчоства Na^ в а ^ ' Ь стремятся к* пулю, в в* продел* мы получим* сумму безкопочпаго ряда 1
x 1 T х
1
—
К
>
И
_»
1 _ П* _
1
1
В* склу рааепетвъ (3) мы инеем* N+1 N+1 N+1 N+1 i i N+ 1 i N+ 1 l
1а+2.а.+3.а.+ N+1
. . . = - [
г
1 . -
(
Т
^ ] «
(в-1)« N+1 l H+ l
(а<1).
—
Въ частности, ноложихъ а = е р>0. Тогда, так* как* « ~
m
(H l ^ f ) ,
f /
глв
( p + l ~ l *) _
т о и в
i i i i Но формула (11), гд* h = 1, дает* N+1 N+1 (W 1> H g) (K+1)MtW 1)
_ „ - шр [сов ю<р - У=Л Bin me.], формулы мы ааЗдемъ сумму ряда ~ ( с * а ф — у^Л ег
3 й
г
ъ предыдущей
^
I
- + , 2» =
1
ж
" . + 4 («"*-
Bin е>) + - | " ( с о в 2 « ? — | / ^ Т в 1 п 2 с . ) + о 'г -/=5 e i n 3 y ) + . . . = с-О-Н^Гу)
N+1 У
« = (N+1) N(N-1) (N-2),
Сравпивая между собою де1ствительпыя в ьтавмыя частя в* обеих* чвотяхъ предыдушаго равепства, мы будем* иметь после равлхчшхъ упрощев11
