* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

Исчислен1е конечныхъ разностей. Исчислен! е конечных* разяостеЛ есть охпа изъ ма¬ тематических* наукъ, въ которой изучаются npupamo* и (я функций, соответствую щ1 я копейным* приращен 1ям* кргумонтв. И. к. р. во многом* аналогично нсчвсдеп1к> без конечно-малых» в распадается, ваш к вто последnee, на трк отдела:- состаеле вte разностей , что соотвътотвуетъ двффервпд1алъному исчислвн!ю, сум миров* п!е,— соответствует* интегральному нечислен!», в теор)я уравнеШи въ яолечвых» ржзпостлхъ, — соответствует* теорЕв ляфферепц1альвых* уравненЦ. Но вавсло заме­ тить, что И, к. р., ло существу, чуждо попят!е лепрерыивостя, являющееся освовпымъ яъ Н. 6.-м, Однимъ взъ главпеПшнхъ npsxeneniH И. к. р. является интёрнолироваии. Первое систематическое взложевЕе И к. р. принадлежать Талеру н выло опубликовано пмъ въ 1718 г. подъ заглав'емъ „Methodnstoeremontorumdire eta et In­ verse,*. Въ 1730 т. появилось сочnucule Отврлипгх ,Ыеtbocus differential la, aire tractatna de sommationo et Interpolation с aerlernm infinite rum*. Въ 1800 г. Л акру a иэдалъ coquncnie .Traito Йеэ differences et des eeries". И. к, p. миого занимались Эйлер», Лагралжъ п Лапласъ. Изъ работъ русских* математиков* наябо.тЬо пажны труды Чебышева. в Нарковз, 1. Пусть будотъ f(x) фупкц1и отъ х; дадим* аргу­ менту х кахоо-пиоудь постояивое конечное npupauwnlo h х раземотрим* разность f(x-j-b) — f[x). Эта раз­ ность называется колечком разностью первою порядка отъ фулхц1н f(x) я обозначается еямиоломъ ДГ(х) = = Г ( х - { - л ) — Г(х). Равность перваго порядка есть, вообще, сама фупкпДя отъ х, в, составляя ел разность, мы получимъ разность второю порядки ДТ(х) = 1 -1-й . , Д* v , и, вообще, л ' x + i h я + П (л т ^ =: А ?а . т -+\ х х) х х * п- i 1 п — 1 С Ди , . . Д Т -Г- •>• -f Д г -j- С Д п х + Ь х -f- »h х ' n m + п х + П h Д rх , где Си сеть бнпом1адьлыЕ яоэфn (п — 1 ) ... (л H I -f- 1 ) 1. 2... m Вычислнмъ разности некоторых* простЬЕшнхъ фупti­ фпц!оптъ С nt П. Разность от* стекепн х п п — равна Дх J= (х-f-h)" — 11 -x п— i . , n(n— 1) n— i =пх ы—YT-^x п , , .n h+...+hi мы видвмъ, что эта разность есть многочлен» (п — 1)-оЙ степени; отсюда следует*, что Д х ° есть чяоло, лезаппелщее отъ х. Разность от* показательной фупкпДи х , х х+ Ь х х / Ь , \ а будет* Да — а — а = а ^ а — I }, 1 вообще, Д а* = ™ а" ( а}* — 1 ) . Разность от* лога¬ х J- h п рнома рвана Д logx = lop; (х + h) — logx = Jog—^— Разность от» alnx представится формулою Дэ1пх = — s!n (х = 2 aln Ь) — alnx = 3 sin -^-соа^х -)- — — sin f^x -h * нообще, Д alnx = > 1 П = ДГ<х + 1») — ДГ(х), я т. х, Д Г(х) — Д ~ * П П = (2 aln ~ У а!н ( x + n У В * H. x p. важ­ ную роль играет* фупКфя Г (х) = х (х — Ь) (х — 2 li) ... fx — (га — 1) l i j . Эта фупиц!я лааываотсл фахтарСалом» н обозначается символом* х ^ ' ^ . Разность от* факто— [2x-f-l] — 2. При составлен! н разностей* удобно поль­ р!ала есть также фактор!ал*; в * самом* д*ле, мы зоваться следующими теоремами. 1) Разность алгебраиче­ = (x-(-h)x(x — h)... [ х - ( ш — 2) М — ской суммы равпа алгебраической сумме разностоВ; в * са­ имеем* A x — х ( х —li) (х — 2 Ь) ... |x--{m — 1) bj=mh.x(x — h)... мом* д-ЬлЬ, мы пмеекгьД [f(x)+

] = 4 f W + A(|! (х). 2) Разность от» * видим*, что ет'а формула вполне аналогична формуле постояппвго числа равпа пулю. Взжпо а а метить, что производной от* стоненн диффвренц1алы1аго ясчвелеразность всякой пер1од и ческой фуякц1н отъ х также равна пулю, еслв Ь. равно пер!оду; въ самом» деле, в!я. Составляя разноотн высших* порвдковъ отъ фактоязь самаго опред*лон1я пер1однческоВ функаДн съ пе- plaxa, получим» то Дх^=(х-J-l)i—х»=3х + 1, н Д*х* = [ 2 (х + 1 Н l ] т Ь ( l 0 / h > v 1 Г(х-] h)—л"~ Г(х). Например*, еслв f(x)=jt* н h = l , р!одом* h следует*, что t (х -f- Ь) = f (х). Напри мерь, если f (х) з= alnx в h = 2 w, то ДвЕпх ~ sin (х -(- 2-) — — Binx к 0. 8) Постоянный множитель можно выно­ сить ва эпакъ разяистл. Въ сомомъ деле, мы вмеемъ ДСГ (х) = C f <х + Ь) — С Г{х) = С Д f(x). Ооетавпмь теперь разность от» произведена двухъ фулкц!В. Обо­ значим», для кратности, f (х) = u ,