* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
s аром во л no в поотоявпое, ил к у' =г ЙСЧИСЛЕШЕ ВАР1АЦГЙ. В ЗВ- 6 тгжъ у / odx - f b, влв y r = - cx + Ь. V 1 - с» черезъ в, подучтшъ уравпе- Обозначая здесь - Ралеумдая, как* аъ предыдущем* примере, убеждаемся, что для того, чтобы J было maximum ялв minimum, фупи> ц!я у = f (х) должно обращать в* пуль под*интегралаe V 1 - с* м!е искомо! лип1в въ aujtt у ;= вх Ь. Это урввнен1е представляет*, кяк* было скжззво вы те, прямую. Про извол ьвыя uостовнвыя в в Ь определяются взъ того условЫ, что всхожая хвн1я долям* проходить черезъ точка М в 1Г|; подставляя въ урааяев1в прямой коор(«ва ты обеих* точекъ, получим* два уравввв1я у = ах* -j-Ъ, У( — КЛ| + Ь, взъ которых» к найдем* а в Ь. После втоге примера, обратимся хъ репки[ю общей в 0 х *F(x,, у , У ) пыД миовтхтсхь оу d /dF(x,y,y)\ dx [ dy' } - U p равняв ta этот* мпоагагсль нулю, получен* для опреде лены у дифферепиДальноо у рай пси 1е второго порядка dP| X i l l . Д ^ р х у , у ) \ % инте ( р Е г о dy ахД dy' J задачх. Даяъ вате гралъ J 1 - Г F (х, у, у ) dx, г д ! 1 F (*. У. У ) Дкивая фувкп)я отъ х, у, у'; требуется наПтх фупкд'ю у = f(x), для котором и вто гралъ вмелъ бы пайбольшее язв наименьшее ааачеа'е по сравнен 1ю съ значеп1емъ того хе вптеграла арв другихъ ппдохъ фупкцШ у, бдизняхъ къ f (х). Прн втомъ предполагаем*, что пре делы хятегралт х и х суть даппыя числа, в что иско мая фупя«1я f(x) должна иметь при х = х в х = x дккяыя знача в 1н у = у , у = у . Геометра ческн вто зна чит*, как* в в* предыдущем* примере, что мы вгаем* ваъ числа кривых*, проходящих* через* точки М и 11,, такую, для которой* данный вптогралъ бьиъ бы raaxinum нлв mloimam. Поступая, какъ в* предыдущем* случае, раасиотрим* семо Пете о кривых* у = < (х, X), удовлетворяю ? щих* выше указанным* усхов1ямъ, и наПдомъ производ ную вптеграла J по параметру X прв X = 0, т. о. B J , обозначая черезъ J то, во что обращается вптогралъ J , если у обращается въ новому» фупвц'ю f (х). Поступая 0 ( 0 t 0 х 0 0 e грал* даст* искомую фупкп1ю у =*f (х, а, Ъ) е* двумя произаольлымя о о стоя ип ими (си. исчиьмнЬ еегхоивчнолиыылз), которыми можно воспользоваться для того, что бы полученная кривая проходила черезъ обе данный точка 11ц ж Ы|, Приравнивая нулю вар*ац1ю определевпаго интеграла S „и интегрируя получающееся отсюда дафферекц'альпое вр i (д F \ уравнвоЮ ~ — — = 0| находим* фувк* т ж и ц!ю у = f (ж), обращающую ототъ интеграл* в* maxi mum вли mini mom. Какой вз* втяхъ двухъ случаев* имеет* место—мот* вопрос* решается рвзсмотрев1ем* второй BBplo&tH иптеграл к 3», подобно тому, вакъ в* хифферввц'альвомъ ас числен) и maximum в т Ш т п и функцЕв различаются знаком* второй производной*. Втод* J рая ввр1дндя $* J есть зпачеп1в -т-г- прв X — 0. Изод*дои ante втором вар) aula позволяет* дать необходимый у слов! я для того, чтобы фуяко)я f (х) обращала иптеграл* J въ maximum или mJulmttm, Къ числу евдячъ, раза матрив вены хъ въ Baplauioxнонъ нечислен!и, нрниахлежатъ такжо задача об* у.лие вых* exlrema опредадевных* интегралов*, нлн клопернметрпчевк1я задача. В* ивхъ ищется extremem опре во предыдущему, находим* SJ, l(F(x,y.?))i*= делевпаго опте града под* услов1ом*, чтобы некоторый другой on редел о ивы й интеграл* имел* заданное зна> "F (х, у, у') « Ч * . Т. У ) * Т ' ) d x , влв, чев'е. ПаПдомъ, например*, врнауиУ U«U (черт. 1 ) , «У + су разбивая иптеграл* ва дак слагаемых*, 2J» = oF (х, у, у') _ dF(x, Т. У') dx+ Г оу' dy* — Jxo Пите г р ар у ом* втором интеграл* во частям*, полагая „ _ dF(x.y,y') dv = ij'. ix — i (ву), я яаходвм* 0 л t Х , л dx. ражается вптегралом* f (х) Ох млн немъ выражев1я члены, свободные отъ влтеграда, обра щаются аъ пуль, я, соединяя вместе два остающихся еслв у — t (х) есть ypaaneule искомо! xpaaoi (см. «ечмел4н1» веикекачмо-жмькса); ддвва крввоВ М М, выраинтеграла, еудякъ иметь в По у с лов! ю, ч (я* **•) обращается нрв х = х * * — i " ? отиетотиепво въ Уе н у при всяком* X; следовательно, прв втяхъ аиачепЫх* поремваваго х ? (х, X) по заавd