* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

Исчисление вар!ац!й Исчислсшо вар)иц!Н, или хар1яц1опяов •счнслстс, гих* лип 13, проходящих* через* те же точки. Пусть сеть учепи объ изменен !и величин*, значеше которыхъ будетъ у = f (х) у равней! о искомой дин! и; зд!сь f (*)— вависнтъ отъ ввха входящих* въ эти величины фускша. неизвестная функщп, вид* которой требуется опреде­ Ееля мы км-Ьемъ какое-нибудь виражей! в, па о р., лить. Так* как* искомая кривая должна проходить i = x - J - y , гд* х—независимое переменное, а у—аеко- через* точки (1,2) и (3, в), то фупкн1я должна прини­ торая его фуокц1л, то ввмввев1е апачея'я х можетъ мать при x = t элачепи 9, а при х = 3 эаачеп!о 8. происходить отъ двухъ различных* причал*. Есдх ввдъ Кроме того, так* как* длина. лап1н у = Г(х) между фулюмв у дань, вавр., у = х>, то эпачеп1е х зависит* точками М (1, 2) в И (3, 8) выражается, как* ото дока­ тохьво отъ апачеи'а верем^пваго х, вавр., прв х = 2, зывается въ дпффередцДальяои геометр!п, вштегралонъ к—в, прв х = 3 , г —12. Но еслв ввдъ фу в ИЩИ у но'* жетъ меняться, то значеШл г могутъ изменяться даже У 1 + у ' dx, то фуахпДи f (х) должна быть такова, въ томъ случа!, когда эначопш переменного х остается чтобы при постановке Г(х) вместо у въ продыдущЦЕ бсэъ взиъиеи1л. Такъ, сел к у = х* то, прв х = 2, 1 = 6; селм жо у — х>, то, ирв томъ же значен 1и х = 2 , будемъ интеграл*, поел*ди!2' пр!оЙретйл* зпачел1е меньшее, иметь х = 10. Наследовали техъ nsutnenin въ эпдче- чем* при всякой другой фулсиДн. Одедовательпо, въ в!лхъ выражсв1п, содержащего псов роде лвллыя фуикшв, раз с натра вас мо В задаче ищется видъ фуипдДп, обращаю­ которыя аавлсятъ отъ изменен!!! въ эпачеп!и веэави- щее данный интеграл* нъ minimum; и потону вто за­ симвго лсремЬ|шаго соотавляотъ продмотъ двфферев- дача аз* области иар1ац1оннаго исчнслец!я. Ниже бу­ цЮльнаго нсчнслсн1я (см. исчисле»и бесконечно-мадыха). дет* показано, что въ данномъ случае фупкц!я Г (х) Насл*доввв1о техъ взмелсп!3, которыя происходят* отъ должна UMiT* видъ ах -(- Ь, где а в Ь постоялпыя, м яамвлев.1я вид* фувкцШ, входящих* въ данное яыра- след., ypaenenie искомой лпшв будетъ у — ах + Ь, т. я. Жвн1е, составляет* предмет* вар!ап1онпаго вочяслеп!я. уравнен 1е прямоЗ. Такпмъ образомъ, пар! ац! он нов не­ числен ie подтверждает* известное подожен1е, что прямая Главная задача vaplaulonnaro всчислсп1я состоит* лин1я о с ь крат(аншее разстолп1е между двумя точ­ аъ азыскап1к maxima в minima—rt в друг!я вместе ками. пазываются тахжо extrema— вы раж ел! 3, ваанслщих* мъ Обращаясь къ изложен!» ос нова я 10 метода, Bupiaulвсоаред*лепвыхъ фувипИ; обыквоковпо такими выражев1хмв являются определенные интегралы. Таким* онного нечвелешя, мы огранвчамел раэсмотр4и1омъ за­ образомъ, аъ хифферепц'альвомъ вочяслеп1и мы вщмъ дача о maxima в minima простых* (однократных*) те злаченая веэависиныхъ переменных*, прн которых* определенных* интегралов*, зависящих* отъ одной* данвоо выражен!е обращается въ maximum или mini- неизвестной фуакц!н н ея первой производной. ОбщДВ 1 1 г mom, а аъ пвр1ац1онном* нсчпсдепЬг мы ищем* тот* вид* такого интеграла J = I F (х, у, у') dx, гд* F — audi функции, входащях* аъ данное вырижеи!о, при ко­ тором* его выражен!е обращается в* maximum нлв AT minimum. данная фупквДя от» х, у, у' н у' = Тробуотоя воЛти Раэлнч1е. между аадачами днффероиц1альваго иечи* лпд* фувкпХи у =: f (х) подъ усл*>в1смъ, чтобы при втомъ слан In в saplaulounaro печасденДя можно видеть вз* вид* интеграл* J имел* наибольшее иди наименьшее знаследующих* двух» примеров*. Пусть иа плоскости чеп!е сравнительно съ вначех!емъ того же интеграла дана точка Ы (2, 3) с* координатами х = 2, у = 3 (см. для всякаго другого вида фуякц)и у. Прежде, ч*м* J'eoMtmptji), ж требуется найти па оси х точку, разстол- общее pemeuie aioS аадачи мы раз смотрим*, в* дать nlo которой* отъ данной точки М было бы ванмвньщпн*. виде примера, приведелную выше задачу. Пусть ва пло­ Пусть будет* х абсцисса искомой точки; так* нак* точка скости даны две точив И fa, у о) в И, (х„ у,), в требуется лежать на оси х, то ел координата у равна пулю. Раз- провести между янмя лхн1ю пап напылен длины. По пре­ стони!» между двухл точками с* координатами (х, у) дыдущему, для р*шев1я атом задача» надо найти фупкж (х',у') выражается формулою У (х — х') » -f- (у — j*)*. ц!ю f (х), которая, будучи поставлен* яв место у в* Въ вашем* случае у = 0, х' = 2, у' г= 3, я потому витограле J (/1 т-у" их, хапала бы атому ин­ векомое ралстояп1е будет* у (х — 2)» + 3». Это аырв»/*е жеп1е предотавляотъ фупкц1ю отъ х, в въ задаче тре­ тегралу меньшее anaienie, нежели всякая другая фупвбуется пакта то значен[е х, ирв котором* вто выражен!* ц1л, близкая къ Г (х). Везьмомъ аепомогательвую функц'к» р будетъ mlolnium. Поступая по правилам» дхффорев- < (х, X), содержащую, кроне х,ещо неравенны! пара­ метр* X. Подчиним* фупхц!» < (ж,X) следую щам* тре? ц'яльиаго исчасдон1я, составляем* производную, которая бовап1яиь: фувкцЫ и (х, X) должна обращаться лрнХ=0 > х —9 будет* . ! era производная обращается въ иокомую фупнц1ю Г(х), т. е. должно быть 9 (х, 0) = (х — 2 ) 4 - 3» = f (х); далее, f (Х, X) должна обращаться ирв х = ' х , нъ нуль прн х = 2. Следовательно, minimum будет* при и х = Х | еоотаетстиенпо въ у и у прн всяком* знах = 2, и будетъ равен* 3. Что вто будетъ именно mi­ чеп!и параметра X. Геомотричсскв вто авачхтъ, что мы nimum, а пе mailmum, видно нвъ того, что прв всъхъ раэематрвааомъ непрерывное семеВство лвя1В у = у (х, X), апачен1яхъ х, хроме х = 2, яыражеШе подъ хорпемъ соответствующих* различным* знаяел1ям* параметра Xj имееть аначеп1е большое, яежолн 3'. Съ другой стороны, псе вти лин!и проходят* через* точки Ы, (хв, y j в рассмотрим* такую задачу. На плоскости даны дне точки Ui,(x ,y,), в срединах*, прв Х = 0, находи тоя нехомал Ыо (1,2), н Ы, (3, 8), где числа въ скобках* предста­ лив!я у = f (х) (черт, 1). Въ доод*дующим* вам* бу­ вляют* хоорднваты обеих* точек*; требуется провести детъ нужно брать пронзводпыя по X отъ разлачныхъ между обеими точками ляп1ю, длина которой была бы ФупкцИ, содержащих* вараметръ X, а давать въ ятях* наименьшая, т . а. была бы меньше ддвн* B C t x * дру­ производных* параметру *к значен!е X — 0. Tnxlx про0 1 У в 4 (