* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

11 ИСЧИСЛЕНИЕ ВЕЗКОНЕЧНО-МАЛЫХЪ. откуда получаем* окончательно 12 dx dy ху dx dy ~ 8 * Изложенное sxtob представляет*, в* сущестаеввьгх* чертах*, теорЕю диффпрепц1альпаго исчислен!я. Не касалсь приложен!? днфферспд1альпаго псчпслон1я к* геометрЕп в мохавик* (сл. соогв«тствующ!я статьи), мы остановимся здесь на првложвп1яхъ днФФеролцЕальнаго a _ д I да \ д*а псчислсп1я к* анализу. Важп1Вш!я пз* них* еосовт* \ дх )' в* рвал ожени фувнц1Й в * рады, в* взыскан la паябольшпх* в велмольшихъ значен!!! функц1й и в * н»хождсп1н 0~yT~ "^у" (ey~]' Попонное свойство частпых* произволглаввыхъ значен! й неон р оделен а ыхъ выражен! Э. вых* высших* порядков* состоит* а* ток*, что on* Пусть мы имеем* фу пк ul» t (х), и ото рая, вместе ве зависят* от* порядка дифференцировали, напр., с* ововмн пронэводннми до(п— 1>го порядка Р(х), б* п /_ t\ dx dy dy dx конечна при х = а ; пусть, кроме f" (х). а = хУ, дифференцируя похученлыя выражеп1я для того, п-ая пров*водная f^ '(x) пм*ет* определенны* да он „ d>n эначонЕл для вскх* эпачепIн х между а в а + Ь. Тогда, вайдснъ ~ ~ = у (Г - 1) ж *" \ dx dy * прннеиля теорему конечны i * upu ращен Е (см. выше), Й можно вывести формулу Талера: d*4 »п у—i „ , , . da у . dx dy dy dx • = x* (l-f-logx), — = x (logx) f ( i + h ) = f w + b ( n ) + i 1.j r W - K . . + l Из* Правил* дяффе|нзшшроаан1я фупхнШ в*сходьхях* поренввных* яы водятся п рая ила дифференциро­ а— * („_i) ван [к неявных* фупкцЕЙ (ев. функцЫ). Пусть у опре­ f ( a + » n), 1.2...П—1 1.2.1д деляется, как* неявная функц!я от* х, ураннеп1ея* ч (х, у) = О. Дифференцируя обе частя во х и иная в* где в—nt кото рое число, содержащеяся между вулом* > виду, что у есть фушещя от* х, получаем* но правилу и едпнянею. ПоследпЕЙ члев* наливается ссмлтдекыт члтомг формулы Тэлора. Эта формула представляет* двфферевш1роаая)л сложных* Фувхцгг 5 " d T обобщен!» теоремы срлдпвхъ приращен!Й. Независимо отъ своого теоретического звачев!я, а га формула может* х = 1, вахо- служить для приближенного вычислены функпДЙ. Если а отсюда, так* как* дам* выражеп1е производной нелеп о S фупкцЕи в* виде остаточный член* пастохьхо мах*, что прв данной точности вычвалевИ вм* можно пренебречь, то зноя *? О. У) эпаченЕо фупкиЕя в ея в—1 производных* прн х = а, dx мы моженъ вычвелпть аплченЕя функцЕв для всехъ до­ d? <*. У) статочно блиэпВд* вначов1й х = в - г - Ь , Если прв неdy ограпвчопном* иозрастапЕн п остаточный член* стремится Волн, напр., у связано с* х уравнеп1ем* х — у — к* пулю, то в * формуле Тэлора ркзложея!е может* — 1 = 0, то мы получим* •^|- = ^ - Очевидно, что быть лродолжопо неограниченно, в мы получаем* розлокенЕо функцЕв въ беако дачный рядъ Те лор a (Taylor, если х дало, то у нельзя вд*сь брать произвольно, а 1715, Job. ВеглопШ, 1601)= необходимо брат* для у то значение, иоторое внаогв f (a + h) = f ( a ) + ~ f (a) + ~ F ' (a) -J-... + с* взятым* значен !емъ х удовлетворяет* ур.\ппсп!ю в (к, у) — 0. Таким* же образом* получаются н частяыя производньш от* ясявяых* фулкц1й нескольких* не¬ ременных*. Наирвивръ. раасматрввая въ ураввсп!и 1.2. ..n х + у + х — 1 = 0 х как* неявную функп!» отъ х, у Отсюда прн i s O , заменяя h через* x, нолучаомърлдъ Иаклор»ид (llaclaurln, 1742): в дифференцируя по х, найдем* т~ — °, ~ f(x) = f(0) + i f ( 0 ) - f J j r ' ( 0 ) + . . . + ох куда ~ - ~ — —. Еакопецъ, многократным* днффереп- da, fit ихъ выражен!я ш собпрвя кооффицЕептм; прв dx, dy, dx получай* вирожев1я частых* производных*, от* сложной функции, напр. да du dr , да дз , Зп di ox o^di^dedi diJx' Последовательное днфф ревцнрои«л1е приводить к* частным* производным* высотах* порядков*. Лапр., фуакиДа п от* двух* перемЬяных* х, т внвотъ четыре д*а д ( да^ \ частных* производных* втор, лорядха1 • — п напр., х = 2, у = 1, то предложенное урввнспЕа дает* для х два эиачеШя: z = ±-1-Этам* даум*значевЕявъвоудут* с о ответствовать зпачсп!я нропэводяоВ d'a J : dy "~ dy дх» di ^dx ) ' d / dn \ dy ox ~ dx 1 dy J' 1 d*n В* выше приведенной* пример* _. ,, 7 a Й л 7 n t n ) 1 + dy dx * dt dx dx ~" 1 1 Х 1 , , 1 (a) -f-.. 2x4-2» от ОХ X пиррвап!емъ получаются таким* же образомъ проиэ иодныя высших* лоряхковъ. Пусть, напр., в' определено какъ неявная фу яка! я отъ х, у уравлешемъ к* у х* = I; я требуется найти -г*^—. Найдем* сначала иропэвадох dy пыя перваго порядка. Дифференцируя хинное уреапенЕо 1 по х а по у, походим* 4 х j * х* ~|- 2 х* у> я —^- s= О, 3 х> у* а» -)- 2 х» у* г dx — О, в.тя по сокращен {и dz — О- Днфферснцврул 1 эагвм* первое вз* полученных* уравнвнЕЙ по у, нвхо„ дг , дН _ . dx и м ъ 2 -^j- + х ^ = 0, ИЛИ, вамяняя его аырожешвмъ вэъ второго ураввеиЕя — — - f - x ^ - ^ = О, _ , «. ft . Этоть ряд* по эпачеи1Ю функцЕи м ея производных*, при i r O , для всех* вначов1Й х, для которых* втоть рядъ сходящЕЙоя (см. ряАи). Онъ дает* розложев1е функн1и по иелымъ положятольпымъ степеням* аргумента, в, следовательно, нрвдетавдяетъ функц1п нри помощи вломонтарпмхъ деЭотв1Й, унпожеп1я в сложел1я, я, кроме того, переход* к* пределу. Подставлял въ ряд* Ыаклорева вместо f (х) разлвчныя фупкцЕи, пол уч в ом* лхъ разложеа1а въ ряды; при помощи втяхъ раз ложен! В удобно наследовать свойства фуикц1Й, а также вычаслать вхъ овачел1я. Ряды для в!пх в oosx доны в* ст. высшая лштаяатика, Взъ'другвхь рядов* укажем* ва ол*дующ!е: о (ш—1) • | l + xj = 1 + - J - x - f 1.2 Ш + 1.2...n t (0) + ... определяет* фупкцЕю f(x) v v