* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

6 ИСЧИСЛЕВЛЕ БЕЗКОНЕЧНО-МАЛЫХЪ. что Urn ~ 6 niалы высших* порядков*, введете котормх* было существепло для новаго вечнолеп1я. Сь математической 'стороны, ахтуольпыя безжопвчпо-ка-шя представляют» то неудобство, что частное двухъ таких* велвчвпъ, а тавжо сукна боэкопвчпаго множества таквх-ь волвчнпъ во вмвютъ прямого смысла, в потому должны опреде­ ляться хосвеплнм* путем*, по способу пределов*. Что­ бы доставить выстШ анализ* яа болъе прочпомъ осповап1н, метод* безкопочло-малых* былъ замкнет мвпадомь MjMdiMOM, какъ это предлагала }же Маклорепъ к Даломбсръ. Эта замела была выполнена" Кошв. ТЬм* не мвп-fce, мстодъ безкоиечво - малых* иредстааллсть так!н удобства, особенно въ различных* пр пложен Lai* лысшого анализа къ другвмъ отделам* частой я првкладпоЙ матеяатака, что безкоиечпо-малыя твмъ ве мепйо сохранились въ анализ* въ измененном* авдъ —• въ воде лесобетвсванхъ безкопячно-малыхъ величав*, которыя правильнее было бы называть, кахъ это дехад* ужа Ньютопъ, неограниченно - малым*. Такъ какъ въ настоящее время хысш)9 авалвзъ имеет* д*ло только сь безкоаечпо-малымн вслячлламв атого второго рола, то въ последующем* мы будем* поп в мать подъ без ко­ ле чяо-мальш а только яееобствеппо бозкопечпо - малыя величины. Что касается актуальных* бозкопечпо малых* величин*, то ова встречаются теперь только в* общем* учеши о аелячвпахъ в в* учел!к о множествах* С«зконеино-малыя несобственны* определяются едъдующам* образомъ. Пусть мы выеемъ переменную величину о, которая прн своемъ ааменеп1н можетъ сделаться а оста­ ваться меньшею по абсолютной велхчхпе каждаго дан­ наго сколь угодно мал кто чвола •, Н < »; янымя сло­ ва мл, в у отъ вто чвело может* при своемъ xsvbuenin сколь угодно близко приближаться къ нулю. Такая пе­ ременная величина, рассматриваемая въ атомъ ея изMtiienJn, а называется леиобственво безковечно-налой величиною. Таким* образомъ, тогда как* актуально без воле чпо-малая величина есть величина состояппал пли переменная, меньшая воякой конечной величины того же рода, — весобствелпвя бсэкопечпо-молал вели­ чина есть такая перемпнная величина, которая при своем* измепоп!к может* едплатъея меньше всякой заданной величины. Съ п о пя Tie иъ о бевхопочпо-малой величая* связано п поялт!в о предыл». Если переменное х и*и*пяется такъ, что разность между пннъ ж поотояпнымъ а есть величина к безвонечпо-малая, — т. е. можетъ быть еде лапа меньше аелкой дана о 8 вели чаш, то цоотояяяое а называется пределом* п ерем* я наго х при дивном* его мэм1вео1и. Такъ, площадь ирута есть предел* площадей внвсавпыхъ яъ яего правильных* мпогоугольпиков* с* увелнчеп1смъ числа ихъ сторопъ, так* кахъ прн увеличен!я числа сторон* впвсяннаго многоугольника площадь ого "ноограпнчонпо приближается хъ площади круга. То что а есть предел* аеременндго х, изображается ра< вепством* а — lim х, гд* Urn — вачадьяыя буквы слова limes — предел*. Так* как* разность х — а между пе­ ременным* я ого проделом* равна безиопечпо-малому « to i = а -)- в, т. е., переменное равно своему пра­ деду, сложенному еъ бевкодечно-малою величиною. Из* предыдущаго следует*, что безионочпо-малое есть пере­ менное, продел* жоторахо равен* пулю; таким* обра* а ом* И. б.-м. может* Ситыам*попо1*счм<м*нйхв предллов». Если мы имеем* несколько без коп очно - малых* «, р\ т..., зависни их* между собою, то одно кэъ пнх* с и аир. о, првнимдетел за главное; тогда, если lim — равен* нулю, В ваэываетсл без конечно-малым* вмешаго порядка относительно а; сеян этот* предел* ревепъ беакопечпости, то 3 навивается безконочле-малым* низ­ шего порядка; если же о тог* предел* равен* конечному числу, тп в в в называются без конечно-малым и одияаковаго порядка. Во многих* случаяхъ беэкопочно-малому В соOTBITCrbyот* такое положительное число н, ( равно копечпому числу; тогда В называется И без кояочпо<м алым* n-го порядка относжтельно в. Папример*, если х стремится къ пулю, то, по отпошон1ю к* х, 2х будетъ безкопочво-мвяым* перваго порядка, 2х . тахъ какъ 11га — =: 2, Зх- — второго, Ьу ж — половвппаго; такъ как* ва* тригононотр1а известно, что „ slnx alnx lim 1 т. в. предел* при х = О, равен* х—О * однпяцЬ, то alnx будетъ относительно х беэковечномалы нъ перваго порядка. Не нужно думать, что каждому безко по чао» малому соответствует* определенный поря­ док* малости. Так*, л* анализе доказывается, что хотя г—— безкопочпо-мало вместе съ х» во вто бозконечноlog х молов не HMier* о пределен наго порядка, так* какъ нрп всяком* п, как» бы оно кя выломало, предел* огrt х t « яошеп1я • * > при х = О, рався* нулю. ™ II. Дмффврвкц1альнов иечисяен|е> Ооноапое поват1о днфферовц1альнаго лсчяехен1я — ноляПе лровэводпой фувац|и (ср. высшая математика). Производная данной функции у = f(x) ость преде ль, хъ которому стремится отпошея1в между приравняем* фуввц!в у и соотиетствуюв1им*приращоя1ем* псэавасимаго переменлвго, яда аргумента, х, когда последите стремктея къ пулю ,см. вмешал математика). Тикам* о бравом*, произ­ водная от* у по х есть по что «нее, кахъ предел* Urn Дх— lim 0 Дх=0 lim i влв, что то жо, Д х Дх — 0 Г (х + Д х) — f (х) _ —•—!—т—^ — • Очонвдно, что производная а х а х - — I ИЛИ пе зависать отъ Ах, такъ какъ ова погучаотоя въ пределе, когда А х пеограыичоино приближается къ пулю; по ока, вообще, зависит* отъ х в, следовательно, представляет* некоторую фулкцЕю оть х, опред4леп­ ным* образомъ за»нслитую от* начальной фупкц1а f (х). Производи ак фунвц1я об означается по Лейбницу чорез* dу —i-, по Ньютону, у котораго производная называется dх tpAKHxieU, через* у, по Лаграпжу—у', нлн V (х), но Ко— • • - . Если, напр., мы имеем* у = ж», то, чтобы dх пайтн п р о и з в о д н у ю , составляем* р а з н о с т ь Д у = ( х Ч ]>ащеп!с фупка1н у — к* прн переходе от* х к* x-f-Дх; Д-у затем* нм*ем* ^-^ = 2 х -f- Д х, и, переходя к* пределу прн А х = 0, паходвмъ производную у* — 2 х. Ноля фупкц1я у представляет* ординату кривой у = Г(х), то проиэподпая у' нродстввляотъ tga — тапголсъ угла на­ клонен 1л С между касательной къ врпной въ точке (и, у) Е о* осью х (ср. сыпная математика). Ньютсн* выводил* поплт)е производпой изъ м охали кн. Обозначим* че­ резъ t время, через* i s f (t) разотоян!о движущейся точки от* некоторой начальной точка О. Найдем* ско­ рость должен!л л* данный момент* временн t. В * этоть момент* движущаяся точка нвходятся от* О па данном* рал стоя н1н е. В* следу »щ!й аа моментом* t промежу­ ток* времени At точка пройдет* некоторое разетоин1е Дя, Если бы движете было равномерным*, то скорость Де дввжсп1я была бы — , т. е. получилась бы хелеп1ом* At пройденного пути па время; по, ла самом* деле, вто вырежете дает* только среднюю скорость за промежу­ ток* времени At. Чем* меньше будет* At, темъ ближе будетъ ота ергдяля скорость хъ жстаппой скорости дважен!я въ момент* t. Такимъ образом*, истинная ско­ рость есть предел*, к* которому стремится отношеп1е + Д х ) — х* = 2 х. Д х + 1 шн (Д х)*, п р е д с т а п л я к Т щ у » ири-