* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

45 Основныя ИДЕИ ГЕОМЕТРШ. 4К располагается по об* стороны касательной плоскости. Если раэс*чь поверхность плоскостью, весьма близко! въ калатольнс! илоскостк в параллельной" eii. то вто съчеи-о вблизи едкиптиюско! точки Дудеть весьма приближаться нъ небольшому ол.шпеу, в вбднан гипербол!чсс.кой точни — къ небольшой части гиперболы. Сррднее ньсто заиныаютъ пнраболнческ1я точки, вблизи которыжъ сЪченЗе уподобляется часта параболы. Въ параболической точки, касательная плоскость иногда разсъкаетъ поверхность, иногда но рмзст,каегъ вн. Это несколько расходятся съ првведеннымъ выло опредълешенъ влдн чти ческам в гнп'роолвчесчон точки; но бол*е точное различение основано иа аняднтнческяхъ нрятярьахъ, ноторихъ ны не ноженъ вд!сь приводить. •иг. sa. Прямая, перпендикулярная хъ Касательно! плоскости въ тонки касашл if, навирается н о р м а л ь ю къ поверхности иъ огон гота*. Если ны черезъ пормаль про веденъ канул либо плоскость (фвг- 33), то она аересвчетъ поверхность по нрпво!, которую наэынаютъ п о р м в д ь п ы м ъ с 4 ч е н ! е и ъ поверхности, такихъ нориадьньтхъ сътен1й черезъ данную точку на поверхноств молено, очевидно, провести бесчисленное множество. Каждое нормальное citenle витать въ течки М определенную ирнввзяу н онрвдт»леннын пентръ крики зли; посдзднИ всегда расподожеяъ на нормали HS къ со яертноств. Однако, въ втомъ стношенЪи возможно двоякое положен!*. Если касательная плоскость въ точки Jf ае раэсЪваеть поверхности, то всъ с1чсн1ц расположены но одну сторону касательно! плоскости, я сь то! же Стороны располагается по ворнвлв илъ центры врннаэпы. Въ втомъ случаи, ехъдул Гауссу, гоаорятъ, что кривизна исъль яормальяыхъ сьчеп1й ин-вотъ одвнаковы! лнакъ; даже, болъе опрвдилеияо, говорить, что в с * съчен1л нн-Ьюгь положительную криивэну. Если же каентелъв&л плоскость раэснкаетъ поверхность, то центры кривизны оилихъ нормалъныхъ сичен13 лежать иа нормали но одну сторону касательно! плоскости, а на другидъ — по другую* Въ етонъ случаи крнввэнамъ сЪченш, пнЪюгдихъ центры по раакыя стороны касательно! плоскоств, прн•нсываются различные знаки. Съ каке! стороны считать кривизну положительно В, а съ какой отрицательно!?, совершенно безразлично; но коль скоро это установлено, каждое нормальное сзчснЕе пр]обрътаетъ крвзнзну, определенную но велпчави я но знаку. Если мы просдвдниъ за ходомъ изм*нен1я крнвнзпы въ норчальвыхъ енчешлхь, то окажется, что нъ обынновевпыхъ точкалъ по-» верха ост и вниютсл два взаимно пероенднкудлрныхъ норнндъяылъ съче^я, въ одномъ изъ которыхъ крвавна достнгаетъ максимума, а нъ другонь минимума [принимав при втомъ, конечно, но onHManic и знаки крнвазпь)- 'Ухш дна еичевдя иазываются г л а в н ы м и о и ч е н 1 я м и поверхноств, а произведете нгъ крвиианъ шьэыиадтся к р и в и з н о й с а м о ! п о в е р х н о с т и въ т о ч J f . Такимъ образомъ поверхность ииьвтъ въ данпоЭ точки положительную крвпиэну, еслв насательная плоскость не нересънаетъ поверхности (и(о в ъ втомъ случаи кривизны главиыхъ сиченШ вм-вготъ одинаковые знаки), II отрипательвую крнннзну, еслв вас. тесность въ вто! точки разевкаетъ иоверхность. Эдднпеовдъ, однополы! гиперболоид* и вллнптнчесизЬ параболоида ннъготъ положительную крнвнвну во нст-къ свонхъ точкахъ, а однополый гнпербодовдъ н гнперболвчесвйй параболоида • ютъ в ъ наждон точек отрвцатедьяую крквиаиу. Но оть точки къ точвъ на эхлнпсондъ, сналимъ, кривизна по • бсолютно! величина нънлет сл.Еоть, однако, поверхности, которым пнъктъ ко всъхъ сиокхъ точкахъ одну в ту я в нолоходтедьную нрнвкзну^ Сажав простая вэъ такихъ поверхностей ностолино! нодояительио! жриииэны есть шаровал новсрхиостъ (сфера), Чтобъ составить себя представлен!е о другихъ поверявостнхъ, ииъюптвхъ ив •сълъ сиовкъ точкахъ постоявшую положительную кривизну, вужяс исходить мвъ эианвнвтоЗ теоремы Гаусса, довалянной вь аяиЬчатсльномъ иеиуарь .Diaqui i t i o n e n g e n e r a t e s circa H n p e r f l c i e a C Q I T U * . Она заключается въ слъдующенъ; если мы воньменъ кудехъ понерхвостн в, представлял се fit таковую, какъ беэнонечно тонкую •ленку, станенъ ев нспрерывЕо деформвровать, не дт,дая нжкаквкъ разрывовъ вли силадокъ, т.-с. просто будемъ ее азгкбать, накъ тонк!! кусокъ матерЕв, то кривизна нъ каждой точвъ поверхности будетъ оставаться безъ нзчинев1л. Если мы повтому выръженъ кусокъ сферы н какъ-ннбудь его ивегнеиь, то мы подучннъ поверхность постоянно! положительной" кривизны. Особенно характерна следующая форма: возьнемъ сферу в черезь два протнвоположниль ел полюса проведемъ два ясряд[ана (двъ полуонружносги). Сдълввъ по втннь иерЕдкавамъ разризь, мы но<учзлъ сфсрвчесв!й иыръэокъ; сводя его концы, обраеуемъ ничто вь родъ челнока*— обычная форма поверхностей постоаняон положвтельвои крнннзны. Но существують также пояеркноств постоянной отрицательно! кривизны. Но ихъ аналогии въ втомъ атвошенш ео ефороЛ, Бельтрамя назпалъ вхъ н е в в д о с ф е р а н в . Раздичяыя формы пс*адосферы необычайно разнообрази и . Подобно том у,какъ сфера есть ионерквость вращения постов нн?£ положнтельв^! вреввзоы, H H t Q T u i поверхноств враще в! я по стелив d отри нательной кривизны; о н ! •м4ютъ форчу не ограничен за 1 • yaiUHai-jiiiaif сл Оокзла,. нанъ вта изображено на фиг. 31* Разработка, н а ч а л ъ двфференФвг. U. 1(1альнаго нзедъдонаниг крвнылъ днвЛ и поиерхвостеЗ относится, г з а в в ы м ъ оОразомъ къ стоавтЗю- Во глак-Ь большой группы геометровъ, ванятыхъ вхъ разработкой. Стоять Клер о [Claira\*t, ,/1'raite d B B сопгЬев a doobb соогЪоге*) я ЭЕлеръ („InLrodactio in nnaly^in infinitornni", 1748]. По ж*pi раэвитХя анаанза беэконечво малыхъ углубдлютсл, конечно, • его лридовен 1л къ гвоннтр1н, выдвигается рядъ задачъ, ptiuenii; которыхъ завысить отъ насбол-ье сложнынъ анатитнческихъ фо. мъ — оть диффер"Н^1альяыхЪ