* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

41 О с н о в н ы я идеи ГЕОМЕТРШ. 42 геометрическое соотиетств1е. Каждой точке М ввольценты отвечаетъ ея центръ нрновзни — точка У ал эволют±; п, такъ как* центръ крннпаты лежать всегда на норй&ли аъ кривой, то каждая точка эволюты лежнть на нормали соответствующе! точки эвольвенты. Ее замечательно, что етв яерыадь иъ то же время касается эвольвенты: нормали къ вволъвенгн служатъ имительпыви къ в не нот в; и волюта какъ бы огнбаегъ еучекъ нормален. Мало того, веля иы иоэьмеьгь д*е точкв в воли венты Ж и М' (фиг. 29} и соответствуюптДя точки Л и Л" иа ваолюги-, то разность между раду • " сани нривнэны if У aSPy какъ рая* равна длпп-в вволюты У У па втомъ нротлжен1и: длила радДуса нриввзсы эвольвенты варастдвтъ какъ равъ на длину дуги соответствующей части эволюты» Если бы иы иъ некоторой точке У еволюты закрепили иить и направили ее но касательной къ крпиой до точки Jf, вагинъ, постоянно натягивая нить, иелн бы ее такъ, чтобы точка 21 все вреия оставалась иа эвольвенте, то нвть постоянно Облегала бы эволюту. Укажем* еще следующее aawtqaтвлъаое обстоя те льстио иъ соотвътстнЕн между вгольаентой в эволютой: каждой эвольвенте отвечает* одаа определенная вводите; во каждой эволюте отвечаеть бевчислеиное множество евольвенть. Это значить; если дава крапая, то мынмЪенъ вовножвиоть достроить множество крввыкъ, для которых* данная кривая служит* •валютой, Въ втомъ раз су жде вон мы иъ первый рввъ встречаемся с* семейством* ливШ. Этимъ еемействомъ вдвсь является совокупность нормалей къ эвольвенте или совокупность касательных* къ виохюте. Поият!е о сснейстяе кривых* играетъ весьма важную роль в* геоиетр1н. Бъ вавболее простонъ случае семейство кривых* выражается уравиешенъ видя; Бъ дальнейшем* мы судей* ви*т* в* виду исключвтельно семейства крнвыхъ втого рода, т.-с. ааввсяпОя отъ одного параметра. Такое семейство представляетъ собой совонупность ковцептрнческидь окружностей (отличало, щндся одна от* другой, следовательно, только аиачеп!ен* рад! уса), совокупвость со фокусных* З Л Л Н В С С Б * (т.-е- инеющвхъ общЕе фокусы и отличающихся только ексцеитриситетомъ> н т. п. На фиг. 30 между двунн жирными окружностями изображена оиружностъ риз!уса Л; ивь каждой точки этой окружности описала Окружность ме.пыпаго, но постояанаго радиуса г; совокупи ость зтихъ малыхъ онружиостеЙ образ- семейство крнвыд*. Если мы возьмем* две, какъ говорят*, с нежны л хрваыя семейства, т.-е, дне весьма близкЗя кривыя (параметры которыхъ между собой весьма нало отличаю теп), то опЬ оОыкно пенно пересекаются въ одной или нескольких* точкалъ. Тикъ, напримерь, окружности С и Q па фиг. 30 пересекаются въ точкалъ Р' я Q'. Еслв теперь, сохраняя неподвцжной одну нэъ втнхъ Фит. 31, двухъ кривых*, будемъ неограниченно приближать иъ Eel другую иркиую семейства, то втн точки Пересе чен1л обыкновенно неограниченно прнбдвжаются нъ неиоторымъ иеооренеленнымъ предельным* положсиЗянь. Такъ, например*, когда окружность *У неограниченно приближается къ С, то точки PI и Q' стремятся къ предельному положи UIHJ РШ Q. Таким* обраэонъ, на каждой и ри во I сен ей ства получаются определенный точки, предстаиллющит предельный положения точекъ нлъ перес*чеа1л со смежными кривыми. Геометрическое место втнхъ точекъ лредставднвт* собой о г и б а ю щ у ю д а н н а г о с е м е й с т в а к р н в ы х ъ . Для семейства, нэобрахеипаго на фиг. 50, огибающая состоитъ иэъ двухъ окружностей рад1усоя* ff-f-r н R—г. Как* мы ивдвмъ иа чертеже, вта огибающая касается всех* окружностей огнбаенЯГО семейства. Это явлено общее; огибающая всегда касается въ общей точке той нзъ огнбаеныхь, которую она въ вток точка пстр'Ь часть. Эволюта, как* мы уже упонлпулн выше, есть де что иное, как* огибающая семейства нормалей в* ввольвенте. Учен1е об* огибающая* игрист* значительную роль въ првнладпий матеиатвке, в* особенности въ меланине, въ учен!п о зацеплен]як*' Мы полагаем*, что мы в* достаточной н*р4 выяспнлв характеръ т е х * эадхчъ, связанных* с* предельным* переходом*, который решаются днффервнц]альпыми методами въ пркмеленЕи к* плосклмъ крнвымъ. Исчерпать ve етогь нетер1ахь здесь исе раино левоэножно. Мы переходим* поэтому къ ирпвынъ двоякой кривизны и здесь мы будем* еще иратче. Крнпая называется крпиой двоякой кривизны, если Фиг. 30. где а есть переменна л, как* говорят*, п а р а н е т р ъ » ! эчачонТе котораго совершенно не завысить оть ?начеши | коорхлнатъ. Если иы дацввъ параметру а определенное численное Значеше, то урнинеше (46) тотчас* примет* ' обычную форну / (г, у) = 0, т.-е, выразят* некоторую I ирнзую на плоскости. Каждому значен!» параметра a отиечаетъ такимъ ойраэонъ оттределеннал крпнал; совокупность атих* кривых* н образуете семейство кривычъ-