* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

157 Векториальный аыалиэъ. 158 н ы м ъ о б р . о т р а ж а е т с я на д а л ь н е й ш е м ъ развитии операций н а д ъ в е к т о р а м и . К а к ъ бы на с м е н у нарушенныхъ т о ж д е с т в ъ обыкновенной ариеметики з д е с ь появляются новыя своеобразн ы я соотношения, н а п р и м ъ р ъ , з а м е ч а тельное тождество Якоби а . (Ь . с) + Ь . (6 . а) + с . (а . Ь) = О. Эти н о в ы я с в о й с т в а , с п л е т а я с ь с ъ сохранившимися обычными свойствами суммы, разности, произведешя, частнаго, и составляютъ своеобразную арием е т и к у или, какъ п р и н я т о не с о в с Ь м ъ п р а в и л ь н о говорить,—алгебру векторовъ. Н о о т с ю д а т о л ь к о о д и н ъ ш а г ъ к ъ анализу. Какъ мы ра^личаемъ постоянный и переменный величины, выраженный ч и с л е н н о , т а к ъ м о ж н о р а з л и ч а т ь также постоянные и переменные векторы. Представимъ себе постоянную точку О (начало) и д в и ж у щ у ю с я — А; т о г д а каждому положение т о ч к и А б у дете соответствовать определенный в е к т о р ъ O A — е я радгусъ-векторъ; э т о т ъ векторъ будете, очевидно, меняться съ п о л о ж е ш е м ъ т о ч к и А , э т о перемгънный векторъ. Е с л и т о ч к а А о п и с ы в а е т ъ к р и вую, и $ есть скаляръ — число, выраж а ю щ е е длину к р и в о й о т ъ н е к о т о р о й п о с т о я н н о й т о ч к и Аф, т о при движении т о ч к и А и з м е н я е т с я s, и к а ж д о м у значение s о т в е ч а е т е о п р е д е л е н н ы й р а д и у с е - в е к т о р е O A (?) ( р и с . 4 ) . В е к т о р е г является функцией скалярав;г= f(s). В о о б ще, относя каждому значению некото р а г о скалярнаРис. 4. го перем^ннаго s в е к т о р ъ г, м ы п р и х о д и м ъ к ъ фцнкцюнальной зависимости между вектором* и скаляром*. И з у ч е ш е э т о й з а в и симости с о с т а в л я е т е п р е д м е т е в е к т о р ! альнаго анал. п о д о б н о т о м у , к а к ъ о б ы к новенный а н а л и з е и з у ч а е т ъ ч и с л е н н о затаивыя ф у н к ц ш . Е с л и векторъ f есть фуигишдя с к а л я р а s, т о т р и е г о n j o e i a r i H — в е р н е е , ч и с л а х, у, z, в ы - ражающйя длины этиихе проекций—также с у т ь функщй о т ъ s и вектор1альная з а в и с и м о с т ь f = f ( s ) эквивалентна тремъ члсловымъ зависимостямъ S ( s ) . y = h(s), z = k(s). В ъ э т о м ъ замещении т р е х ъ ф у н к щ й одной вектор1альной ф у п к щ е й и з а к л ю ч а е т с я с и л а векториальнаго анализа. П о л о ж и м ъ , ч т о мы д а д и м ъ н е ь а в и с и м о й п е р е м е н н о й въ р а з с м о т р е н н о й выше зависимости f = f ( s ) (рис. 4) с н а ч а л а значение s, а п о т о м ъ н а р а щ е н ное значение s - J - h ; э т и м ъ а н а ч е ш я м ъ б у д у т ъ о т в е ч а т ь в е к т о р ы O A = f (s) и OA' = f (s + h ) . В е к т о р ъ A A ' = O A ' — O A представляетъ собой геометрическое наращение, к о т о р о е п о л у ч а е т ъ п е р е м е н ииый в е к т о р ъ , к о г д а н е з а в и с и м а я п е р е м е н н а я п о л у ч а е т ъ н а р а щ е т е п, т . е. A A ' = f ( s + h ) — f ( s ) . Если мы р а з д * лимъ э т о н а р а щ е т е на h , т о п о л у ч и м ъ в е к т о р ъ , к о т о р ы й при п о л о ж и т е л ь н о м ъ h направленъ въ ту же сторону, что АА', при отридательномъ — въ против о п о л о ж н у ю . К о г д а h с т р е м и т с я къ н у л ю , т о отношение A A' ^ f ( s + h) — f ( s ) li h м о ж е т ъ с т р е м и т ь с я къ о п р е д е л е н н о м у предельному вектору; этотъ п р е д е л ь ный в е к т о р ъ (буде онъ с у щ е с т в у е т е ) н а з ы в а е т с я геометрической производной вектора f . Если А есть движущаяся точка, т о геометрическая производная ея радиуса-вектора п р е д с т а в л я е т ъ с о б о й с к о р о с т ь движения, г е о м е т р и ч е с к а я п р о изводная скорости есть ускореше. I = = — Геометрический п р о и з в о д н ы й с о х р а н я ю т ъ многия с в о й с т в а обыкновенной п р о и з в о д н о й (см. высшая математика и дифференцгальное исчисленге); н а п р и м е р ъ , в ъ с и л е о с т а ю т с я правила с о ставления п р о и з в о д н о й с у м м ы и в е к ториальнаго произведения. Ч т о н а и б о л е е замечательно, при надлежащихе услови'яхе о с т а е т с я в ъ с и л е ф о р м у л а Т а й л о р а . Другия с в о й с т в а о б ы к н о в е н н ы х е п р о и а в о д н ы х е в е вектори'альнамъ а н а л и з е и з м е н я ю т с я — и такимъ образ о м ъ получается своеобразное дифференциальное исчисление' в е к т о р о в е , и з ъ к о т о р а г о въ т о м е ж е п о р я д к е и д е й п о л у ч а е т с я и н т е г р а л ь н о е исчисленае. О б е дисциплины отличаются необычайныме иаяществомъ и чрезвычайно