* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

I l l Ввйерштрассъ. 112 степень доктора h o n o r i s causa; въ 1856 г. о н ъ п о л у ч и л ъ каеедру в о вновь о т к р ы т о м ъ берлинскоыъ т е х н о л о г и ч е скомъ и н с т и т у т ъ , а з а т е м ъ (1864) и о р д и н а т у р у в ъ берлинскомъ у н и в е р с и т е т ъ . С ъ э т о г о времени В. получилъ в о з м о ж н о с т ь о т д а т ь с я в с е ц е л о наукъ и в с к о р е оказался в о г л а в е новой, и м ъ же созданной математической ш к о л ы . У м . в ъ 1897 г. Обращаясь к ъ х а р а к т е р и с т и к е нау ч н о й д е я т е л ь н о с т и В., нужно прежде в с е г о у к а з а т ь на общдй х а р а к т е р е е г о в о э з р ъ т й . Богатый наплыве новыхе идей, к о т о р ы м и ознаменовались въ математике X V I I и X V I I I столетия— э п о х а с о з и д а ш я современнаго в ы с ш а г о анализа, — и м е л ъ своиме последств1емъ некоторое перепроизводство: избытокъ новыхъ фактове и методове в е ущербе ихе строгости и обоснованности. Уже с ъ начала ХГХ с т о л е т и я , с е Г а у с с а и Коши (см.), начинается н о в о е т е ч е т е , х о т я и н е д о с т а т о ч н о по началу твердое. А б е л ь и Г р а с м а н ъ (си*.) стали на э т о т ъ п у т ь р е ш и т е л ь н е е , а В. п е р в ы й о б ъ я вилъ б е з у с л о в н у ю с т р о г о с т ь математическаго доказательства своимъ о с новнымъ девизомъ. Этоте девизе обоз н а ч а л е требование в е р н у т ь с я к е сам ы м е н а ч а л а м е анализа, к е обоснованию н а ч а л е ариемьтики, к о т о р о е т о л ь ко и м о ж е т ъ д а т ь н е з ы б л е м у ю базу д л я в с е г о м а т е м а т и ч е с к а г о анализа. В., по с у щ е с т в у , принадлежите первое н а у ч н о е построение т е о р ш иррациональныхъ чиселъ, этого важнейшаго в о п р о с а научной ариеметики; у ч е т е о комплексныхъ числахъ, которое Гауссъ и К о ш и в п е р в ы е вывели и з ъ области м и с т и к и , перекристаллизовавшись въ р а б о т а х ъ Г р а с м а н а и Гамильтона, п о л у ч и л о у В. свое з а в е р ш е ш е . При э т о м ъ В. с т о я л ъ на с т р о г о ариеметич е с к о й т о ч к е зрения, т р е б у я , ч т о б ы учеипе о ч и с л е р а з в и в а л о с ь само и з ъ с е б я , н е т о л ь к о помимо г р у б о й интуиции, но даже и безъ п р и м е с и какихъ бы т о ни б ы л о г е о м е т р и ч е с к и х ъ п р е д с т а в л е ш й . Отъ т е о р е т и ч . ариеметики, какъ научной базы современ. анализа, В. в о с х о д и т е к е о б щ е м у учешго о функндяхе; TeopiH функпдй (см.) въ ея с о временноме виде имеете, конечно, с в о и х ъ п р а р о д и т е л е й , — н о о т ц о м ъ ея былъ В. Е с л и с т а р ы е м а т е м а т и к и в и д е л и п у т ь къ изучению функции в ъ е я формальномъ з а д а ш и , т . е. в е е я аяал и т и ч е с к о м ъ с о с т а в е (въ с о с т а в е в ы ражающей ее ф о р м у л ы ) , е с л и Р и м а н ъ (см.) привлекалъ д л я э т о й ц е л и с в о е образный геометрическая с р е д с т в а , т о В. о с т а л с я в е р е н е с в о е й а р и е м е т и ч е ской т о ч к е зрения- Не в ъ ф о р м а л ь номъ з а д а н ш функпдй—ключъ къ е я изучению, а — н а п р о т и в ъ — в о в н у т р е н н и х е с в о й с т в а х е функцш, в е х а р а к т е р е зависимости аначешй фунюзш оте з н а ч е т й независимыхе перемеын ы х ъ ( н е п р е р ы в н о с т ь , существование производныхъ, особенный точки, ихъ ч и с л о , х а р а к т е р ъ и расположение) к о р е н и т с я сокровенная п р и ч и н а в о з м о ж н о с т и т о г о или д р у г о г о ф о р м а л ь н а г о выражения функцш. В-у прннадлежитъ современное определение непрерывности функщй; В. п е р в ы й п о к а з а т ь , какъ далека о т е и с т и н ы презумшхдя, ч т о всякая н е п р е р ы в н а я ф у н к щ я и м е е т е п р о и з в о д н у ю ; В. с о з д а л ъ ф у н к щ й , обладаюшдя такими о с о б е н н о с т я м и , к о т о р ы х ъ никто р а н ь ш е с е б е не п р е д с т а в л я л е . Э т и м е онъ о б н а р у ж и л ъ , какъ опасны т в презумппди, к о т о р ы х ъ д е р жались п о ч т и в с е м а т е м а т и к и X V L I I века, и р е ш и т е л ь н е е ч е м ъ кто-либо отъ н и х е о т к а з а л с я . Н а и б о л е е же общимъ с р е д с т в о ы е д л я ф о р м а л ь н а г о задавая фунишди комплекснаго переменнаго для В. с л у ш а т ь с т е п е н н ы е р я д ы и б е з к о н е ч н ы я п р о и з в е д е ш я ; и х ъ теория, т а к ъ с к а з а т ь , о т к р ы в а е т е Вейерштрассову теоргю дЪункцШ. Но р я д е о п р е д е л я е т е функцию т о л ь к о в е п р е д е л а х ъ к р у г а С Х О Д И М О С Т И ; В. у к а з ы в а е т е с р е д с т в а „ п р о д о л ж и т ь " функцию за пред е л ы э т о г о к р у г а ; онъ д а е т ъ , такимъ о б р а з о м ъ , с р е д с т в а с т р о и т ь аналитич е с к у ю фунтагло, р а с ш и р я я постепенно о б л а с т ь , в ъ к о т о р о й она о п р е д е л е в Е , до е я е с т е с т в е н н ы х ъ г р а н н ц ъ , о б у с л о в л и в а е м ы х ъ характерными особеннос т я м и функции. Какъ ни важны э т и обшдя идеи, в р я д ъ ли о н е п о л у ч и л и бы полноэ признание, если бы В. не п о к а з а д ъ ихъ применения къ д е й с т в и т е л ь н о м у изучение функций, играющихъ важну» р о л ь в ъ а н а л и з е . Такими функциями ЯВИЛИСЬ эллшгтическия и гиперэллин т и ч е с ш я функцш. Э т и з а м е ч а т е л ь н ь ц