ЛОРАНА РЯД
- обобщение степенного ряда по целым неотрицательным степеням разности z-а или по целым неположительным степеням z-а в виде
Ряд (1) понимается как сумма двух рядов:
- правильная часть Л. р. и 
- главная часть Л. р. Ряд (1) считается сходящимся тогда и только тогда, когда сходятся его правильная и главная части. Свойства Л. р.: 1) если область сходимости Л. р. содержит внутренние точки, то она представляет собой круговое кольцо 
с центром в точке 
; 2) во всех внутренних точках кольца сходимости Dряд (1) сходится абсолютно; 3) как и для степенных рядов, поведение Л. р. в точках граничных окружностей 
может быть самым разнообразным; 4) на любом компактном множестве 
ряд (1) сходится равномерно; 5) сумма ряда (1) в Dесть аналитич. функция f(z); 6) ряд (1) можно дифференцировать и интегрировать в Dпочленно; 7) коэффициенты с k Л. р. определяются через его сумму f(z) формулами
где 
- любая окружность с центром а, расположенная в D;8) разложение в Л. р. единственно, т. е. если 
в D, то все коэффициенты их Л. р. по степеням z-асовпадают.
Для случая центра в бесконечно удаленной точке 
Л. р. принимает вид
причем теперь правильной частью является 
а главной - 
Область сходимости ряда (3) имеет вид
а формулы (2) переходят в формулы
где 
В остальном все свойства те же, что и в случае конечного центра а.
Применение Л. р. основано главным образом на теореме Лорана (1843): любая однозначная аналитич. функция f(z) в кольце 
представима в Dсходящимся Л. р. (1). В частности, в проколотой окрестности 
изолированной особой точки а однозначного характера аналитич. функция f(z) представима Л. р., к-рый и служит основным инструментом исследования ее поведения в окрестности изолированной особой точки.
Для голоморфных функций f(z) многих комплексных переменных 
аналогом теоремы Лорана можно считать следующее предложение: всякую функцию f(z), голоморфную в произведении Dколец 
можно представить в Dв виде сходящегося кратного Л. р.
в к-ром суммирование распространяется на все целочисленные мультииндексы
где 
- произведение окружностей 
Область сходимости ряда (4) логарифмически выпуклая и является относительно полной кратно круговой областью. Однако применение кратных Л. р. (4) ограничено, поскольку при 
голоморфные функции f(z) не могут иметь изолированных особенностей.
Лит.:[1] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 1, М., 1967, гл. 4; [2] Ш а б а т Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., М., 1976, ч. 1, гл. 2, ч. 2, гл. 1. Е. Д. Соломенцев.
Математическая энциклопедия