ЛАПЛАСА - БЕЛЬТРАМИ УРАВНЕНИЕ

Бельтрами уравнение, - обобщение Лапласа уравнения для функций на плоскости на случай функций ина произвольном двумерном римановом многообразии R класса С ². Для поверхности R с локальными координатами x, h и первой квадратичной формой

Л.- Б. у. имеет вид

При E=G и F=0, т. е. для случая, когда (x, h) - изотермич. координаты на R, уравнение (*) переходит в уравнение Лапласа. Л.- Б. у. было введено Э. Бельтрами в 1864-65 (см. [1]).

Левая часть уравнения (*), поделенная на наз. вторым дифференциальным параметром Бельтрами.

Регулярные решения uЛ.- Б. у. являются обобщениями гармонич. функций и наз. обычно гармоническими функциями на поверхности Д. Физически эти решения интерпретируются подобно обычным гармонич. функциям, напр, как потенциал скоростей потока несжимаемой жидкости, текущего по поверхности Л, или как потенциал элект-ростатич. поля на R, и т. п. Гармонич. функции на поверхности сохраняют свойства обычных гармонпч. функций. Для них справедливо обобщение Дирихле принципа:среди всех функций vкласса в области принимающих на границе дG те же значения, что гармонич. функция последняя дает минимум интегралу Дирихле

где

- первый дифференциальный параметр Бельтрами, являющийся обобщением квадрата градиента grad²U на случай функций на поверхности. По поводу обобщения Л.- Б. у. на римановы многообразия высших размерностей см. Лапласа оператор.

Лит.:[1] Beltrami Е., Richcrche di analisi applicata alia geometria, в кн.: Opere matematiche, t. 1, Milano, 1902, p. 107-98; [2] Шиффер М., Спенсер Д. К., Функционалы на конечных римановых поверхностях, пер. с англ., М., 1957. Е. Д. Соломенцев, Е. В. Шикин.