ГРУППА СУСЛОВИЕМ КОНЕЧНОСТИ

группа, элементы или подгруппы к-рой удовлетворяют тому или иному условию конечности. Под условием конечности в теории групп понимается любое такое свойство, присущее всем конечным группам, что существуют бесконечные группы, к-рые им не обладают. Наиболее важными в теоретико-групповых исследованиях являются следующие условия конечности: конечность убывающих цепей подгрупп (условие минимальности для подгрупп, см. "Артинова группа"), конечность возрастающих цепей подгрупп (условие максимальности для подгрупп, см. Нётерова группа), конечная порож-денность, конечность порядков элементов (периодичность), конечность конечно порожденных подгрупп (локальная конечность, см. "Локально конечная группа"), конечность ранга, конечность классов сопряженных элементов.

Систематич. изучение Г.

Группа имеет конечный ранг, если минимальное число образующих элементов в каждой ее конечно порожденной подгруппе не превосходит нек-рого фиксированного числа. Это условие конечности было широко использовано при изучении разрешимых групп и локально нильпотентных групп. Было установлено, в частности, что если все абелевы подгруппы локально нильпотентной группы без кручения имеют конечный ранг, то конечный ранг имеет и вся группа [4].

Ряд существенных результатов дало исследование групп с конечными классами сопряженных элементов. Наиболее изученными среди них оказались слойно конечные группы, т. е. группы с конечными множествами элементов каждого порядка. Их изучение доведено по существу до полного описания их строения. Из этого описания вытекает, в частности, что класс слопно конечных групп совпадает с классом локально нормальных групп, удовлетворяющих условию минимальности для примерных подгрупп.

Лит.:[1] Черников С. Н.. "Успехи матем. наук", 1959, т. 14, № 5(89), с. 45-Й6; [2] Rоbinsоn D. J. S., Finitenessconditions and generalized soluble croups, p. 1,2, В.- Held.-N. Y., 1972; [3] Курош А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967; [41 Мальцев А. И., "Матем. сб.", 1951, т. 28 (70), № 3, с. 567-88; [5] Шунков В. П., "Алгебра и логика". 1970, т. 9, № 5, с. 579-615. С. Н. Черников.