ГАРМОНИЧЕСКАЯ ФОРМА

внешняя дифференциальная форма на римановом многообразии М, удовлетворяющая уравнению , где "Лапласа оператор", соответствующий римановой метрике на М, а - оператор, сопряженный к внешнему дифференциалу d. Если имеет компактный носитель, то гармоничность формы равносильна равенствам Г. ф. степени рна Мобразуют векторное пространство над полем . Если рнманово многообразие Мкомпактно, то конечномерно, как ядро эллиптич. оператора . Поскольку Г. ф. замкнута, в силу теоремы де Рама возникает естественное отображение пространства в пространство вещественных когомологий степени рмногообразия М. Из Ходжа теоремы, следует, что это отображение является изоморфизмом. В частности, гармонич. функции, то есть Г. ф. степени 0, на связном компактном многообразии постоянны.

Г. ф. на компактном римановом многообразии инвариантны относительно любой связной группы изомет-рий этого многообразия, а для симметрического пространства Мпространство совпадает с пространством р-форм, инвариантных относительно наибольшей связной группы изометрий.

Параллельная теория Г. ф. существует для эрмитовых многообразий М. Г. ф. на эрмитовом многообразии М - это комплексная форма, лежащая в ядре оператора Бельтрами - Лапласа . Г. ф. типа составляют пространство над . Если Мкомпактно, то конечномерно и естественно изоморфно пространству когомологий Дольбо. В случае, когда М- кэлерово многообразие, эти два понятия Г. ф. фактически совпадают, поскольку В этом случае

и

Пусть - кэлерова форма на М, L - оператор внешнего умножения на - сопряженный к Lоператор, (М) - пространство примитивных гармонических форм типа , т. е. форм , для которых . Для справедливо равенство

Для компактного кэлерова многообразия пространство совпадает с пространством голоморфных форм степени р. В частности,

Изучение гармонич. функций и форм на римановых поверхностях восходит к Б. Риману (В. Riemann), сформулированные к-рым теоремы существования были полностью обоснованы к началу 20 в. Теория Г. ф. на компактных римановых многообразиях была впервые изложена У. Хеджем (см. [1]).

В дальнейшем были даны различные обобщения теории Г. (соответственно ) гармонич. форм со значениями в Е(см. "Дифференциальная форма"). Если Мкомпактно, то эти пространства конечномерны и изоморфны соответствующим пространствам когомологий де Рама и Дольбо, допускающим в свою очередь интерпретацию в терминах когомологий пучков.

В случае локально плоского расслоения эти когомологпи тесно связаны также с когомологиями группы Если Мне компактно, то пространство Г. ф. с интегрируемым квадратом изоморфно пространству кого-мологий комплекса форм с интегрируемым квадратом [2]. В случае, когда М- область с гладкой границей и компактным замыканием в кэлеровом многообразии можно рассматривать также пространство Г. ф. типа со значениями в векторном аналитич. расслоении Енад гладких в Ми непрерывных в Если Мстрого псевдовыпукла, то это пространство конечномерно и изоморфно пространству когомологий Дольбо, соответствующему Енад М[9].

Г. ф. являются мощным средством изучения когомологий вещественных и комплексных многообразий, а также когомологий дискретных групп. Из теории Г. ф. выводятся основные когомологич. свойства компактных кэлеровых многообразий и, в частности, проективных алгебраич. многообразий [1], [4], [5]. С помощью Г.

Лит.:[1]Hodge W. V. D., The theory and applications of harmonic integrals, 2 ed., Camb., 1952; [2] де Рам Ж., Дифференцируемые многообразия, пер. с франц., М., 1956; [3] Шварц Л., Комплексные аналитические многообразия. Эллиптические уравнения с частными производными, пер. с исп., М., 1964; [4] Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, пер. с англ., М., 1976; [5] Чжэнь Шан-шэнь, Комплексные многообразия, пер. с англ., М., 1961; [6] Goldberg S., Curvature and homology, N. Y.- L., 1962; [7] Яно К., Бохнер С., Кривизна и числа Бетти, пер. с англ., М., 1957; [8] Мацусима И., Мураками С., "Математика", 1965, 9 : 5, с. 27-77; [9] Кон Д ж. Д ж., "Математика", 1964, 8 : 1, с. 108-41; 8 : 3, с. 80-101.