ГАМИЛЬТОНА ФУНКЦИЯ

гамильтониан,- функция, введенная У. Гамильтоном (W. Hamilton, 1834) для описания движений механических систем; начиная с работ К. Якоби (К. Jacobi, 1837), используется в классическом вариационном исчислении для представления Эйлера уравнений в канонической

форме. Пусть - "Лагранжа функция" механич. системы или подннтегральная функция в задаче минимизации функционала

.

классического вариационного исчисления, где . Г. ф. представляет собой Лежандра преобразование функции Lпо переменным иначе говоря, где выражено через рсоотношением скалярное произведение векторов и х. С помощью Г. ф. уравнения Эйлера

(в задачах классич. механики называемые Лагранжа уравнениями).записываются в виде системы уравнений 1-го порядка:

Эти уравнения наз. Гамильтона уравнениями, гамиль-тоновой системой, а также канонической системой. Через Г. ф. пишутся уравнения Гамильтона-Якоби для функции действия (см. "Гамильтона - Якоби теория").

Т. ф. в задаче оптимального управления определяется следующим образом. Пусть требуется найти минимум функционала

при дифференциальных связях

при заданных граничных условиях и ограничении на управление . Здесь есть n-мерный вектор фазовых координат, - m-мерный вектор управления, U - замкнутое множество допустимых значений управления и. Г.

где - сопряженные переменные (множители Лагранжа, импульсы), аналогичные введенным выше канонич. переменным . Если есть минимум в поставленной задаче и (тогда можно считать равным -1), то

где

Полученное для Г. ф. выражение имеет ту же структуру, что и в классическом вариационном исчислении. Согласно Понтрягина принципу максимума уравнения Эйлера для задачи оптимального управления с помощью Г. ф. можно записать в виде

Оптимальное управление ипри каждом tдолжно доставлять максимум Г. ф.:

Лит.:[1] Блисс Г. А., Лекции по вариационному исчислению, пер. с англ., М., 1950: [2] Понтрягин Л. С. [и др.]. Математическая теория оптимальных процессов, 2 изд., М., 1969.

И. Б. Вапнярский.