* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

558 ЛОБАЧЕВСШЙ. трнческихъ трудахъ. Но его крупный математичесшЗ талангъ, его желаше «точ-ностл понлтШ» проявилось и въ его ра-ботахъ по алгебр^ ? по анализу. «Истинный геометръ», ЛобалевскШ не былъ въ то-же время исключительно геоиетръ, подобно Штейнеру или Штаудту. Остановимся прежде всего па его работать о сходимости строкъ. Въ этихъ работахъ, какъ увидимъ, ЛобачевскШ указывать въ первый разъ съ полною определенностью ва необходимость отличать постепенностъ (по нашей современной терминологии—непрерывность) отъ непрерывности (теперь— дифференцируемость). Въ этомъ вопросе, какъ и въ вопросе объ основашяхъ ге-ометрш, Лобачевский опередилъ свойхъ соврекенншшвъ на несколько депятилетхй. Геометры XVII м ХУШвЪковъ считали ©и- ipso, что дифференцируемо сть есть следствие непрерывности. Аыперъ первый счп-талъ уже нужнымъ дать доказательство этого положения, н его работа, появившаяся въ 1806 г., въ очень распространен-номъ математлческомъ журнале, не могла не обратить на себя внимал !я Варте-дьса и его талантливого ученика. Лоба-чевсклй остановился въ первый разъ на этомъ фундаментальном* для анализа вопросе въ мемуаре «Объ исчезает тригоно-ыетрическпхъ строкъ» («Уч. Записки Каз. университета» 1834 г., кн. II). Здесь прежде всего обращаюсь на себя мютайв общая раясуждешя о функщяхъ. Лобачевекгй держится самаго общаго понят»» о фуикщи. «Это общее йояят1с требу етъ, чтобы функщей отъ ? называть число, которое дается для каядаго ? и вместе съ ? постепенно изменяется. Значеше функция можетъ быть дано или ана-литическамъ выражен 1емъ или уоюв1емъ, которое подаетъ средство испытывать все числа и выбирать одно изъ нихъ, пли, на-конецъ, зависимость можетъ существовать и оставаться неизвестной». Въ примерь ио-следняго рода зависимости ЛобачевскШ приводить зависимость угла параллелизма отъ разстояяШ, которую онъ сначала обозначишь П (х), нисколько, однакожъ, не разумея подъ этимъ знакомь какую-нибудъ аналитическую функцш отъ х, и только потомъ нашелъ свою знаменитую формулу: Cotg Чг Щх) = е*. «Кажется нельзя сомневаться нп въ истине того, что все въ Mipe можетъ быть представлено числами, ни въ справедливости того, что всякая въ немъ перемёна и отношение выражаются аналитическою функщей. Между темъ обширный видъ теорш допускаетъ существовав зависимости только въ томъ смысле, чтобъ числа, одно съ друпшъ въ связи, принимать какъ бы данными вместе. Лагранжъ въ своемъ вычлслонш функцхй (Calcul des fonctions), которымъ хотелъ заменить диф-I ференщальное, столь ко-же следовательно j поврвдглъ обширности понят, сколько ' думалг выиграть въ строгости суждешя». Далее следу етъ место, показывающее, что ЛобачевскШ ясно понималъ различ1е между теми значен 1яии переменной независимой, въ которыхъ функция, какъ мы теперь говоримъ, непрерывна, и теми, въ которыхъ она, сверхъ того, дооускаетъ дифференцирование, т. е, имеетъ производную. Еще точнее формулируется имъ это различ1е въ статье «Способъ уверяться въ нсчезаши безконечныхъ строкъ и приближаться къ значение функцш отъ весьма большихъ чиселъ» («Учеиыя Записки Каз. университета» за 1835 г.). Здесь (стр. 89) онъ говорить: «Во всякой аналитической функцш обращать должно ввимаше на постепенность л непрерывность. Въ сочи-ненш моемъ объ исчсэопт тршономе-трычеекыая строкъ я доказывалъ необходимость этого различая, называя фунгс-щю f(x) постепенною, когда приращешя въ ней уменьшаются до нуля BMUcrii съ приращениями перемен наго х; непрерывной—когда содержашедвухъ этихъ прйра· щенШ съ ихъ уменьшен!емъ переходить нечувствительно въ новую фулкщю, которая будетъ, следовательно, дифференщаль-ньшъ множимлемъ. Интегралы должны быть всегда разделяемы такъ па промежутки, чтобы елементьт подъ знакомь ка,ж-дато интеграла сохраняли посте ценность и непрерывность». Не подлежать, такимъ образомъ, сомненш, что въ вопросе объ отношении между «постепенностью» (по нашей терм ? m ологш,—непрерывностью) и «непрерывностью» (теперь диффервнци-руемость) Лобачезскш далъ повое блестящее доказательство своего яснаго критическая ума и стремленья къ строгости. Только значительно позже въ семидеся-тыхъ годахъ Вейерштраесъ нашелъ свой замечательный примерь тригонометрической строки, представляющей фушьщю непрерывную въ известномъ промежутке значе-