* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

34 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ (гл. I к о т о р о е мы п о л у ч а е м , и н т е г р и р у я по л и н и и , н е п е р е с е к а ю щ е й р а з р е з ы , то л ю б о е з н а ч е н и е , к о т о р о е м о ж е т п о л у ч и т ь и н т е г р а л при и н т е г р и р о ­ вании о т 0 до ф по л ю б о м у пути, в ы р а ж а е т с я равенством •jj У 1 — к s i n л dX = + Е г 2 к) + 2тЕ + 2 н Ш и (108) где ш и п с у т ь п р о и з в о л ь н ы е ц е л ы е ч и с л а о д и н а к о в о й ч е т н о с т и . Знакп л ю с п е р е д Е(<р, к) с о о т в е т с т в у е т т о м у с л у ч а ю , к о г д а ч и с л а тип четные. З н а к м и н у с с о о т в е т с т в у е т т о м у с л у ч а ю , к о г д а т и п—числа нечетные. О т м е т и м с в о й с т в а и н т е г р а л а Е ( Ф , к), н е п о с р е д с т в е н н о в ы т е к а ю щ и е и з его определения: Е(— <р, к) Е(<р + л, к)= ^ — Е{а>,к), Е(<р,к) + 2Е. (Ю9) (ПО) Оба эти свойства могут б ы т ь в ы р а ж е н ы одной- ф о р м у л о й : Е(тя±<р, где m—число целое. Если рассматривать интеграл k) = 2mE±E(q>, к), ( Щ ) 1 —X s то можно сказать, что он я в л я е т с я многозначной функцией верхнего п р е д е л а х. В с е в о з м о ж н ы е з н а ч е н и я и н т е г р а л а , с о о т в е т с т в у ю щ и е р а з л и ч ­ н ы м п у т я м и н т е г р и р о в а н и я о т т о ч к и 0 д о х, п о л у ч а ю т с я из о д н о г о , — с к а ­ ж е м , из интеграла, в з я т о г о по прямолинейному пути, и могут быть пред­ ставлены в виде где интеграл берется по прямолинейному п у т и , т и п—числа целые и E i : — L / T E E E t o + t ** З н а к плюс п е р е д интегралом п о л у ч а е т с я в том с л у ч а е , когда ч и с л о т оказывается четным, а знак минус—в том случае, когда т оказывается нечетным. § 14. Э л л и п т и ч е с к и й и н т е г р а л 3 - г о р о д а . Э л л и п т и ч е с к и м и н т е г р а л о м 3-го рода в канонической ф о р м е Л е ж а н д р а н а з ы в а е т с я и н т е г р а л (112) 1 (1 + пх ) V(l— г x ) 0 — fc&x ) выражается s ! Э т о т и н т е г р а л , п о д о б н о и н т е г р а л а м 1-го и 2-го р о д а , не в общем виде через элементарные функции.