* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
446 БЕССЕЛЕВЫ Ф У Н К Ц И И , неограниченная последовательность функций 1р(ж), / (х),..., 1 (х),... определенной конструк ции, при чем любая функция разлагается в бесконечный р я д так, что f(x)=A + А 1 (х) + AJ (х)+ • • • (1) Как известно, Фурье указал разложение функций в тригонометрические ряды и вос пользовался последними для составления интегралов дифференциальных уравнений теории упругости и теплопроводности. Однако уже" Фурье убедился, что в более сложных случаях д л я разложения инте гралов необходимо пользоваться другими функциями и, в сущности, нашел наиболее простую из Б . ф. Интегрируя уравнение Лапласа (в теории возмущения планетных движений) в кругово-цилиндрических ко ординатах, Бессель пришел (1816) д л я разы скания одной из составных частей инте грала к обыкновенному дифференциально му уравнению 2-го порядка: 8 р 0 г х 2 Тому ж е диффер. ур-ию(4) удовлетворяет также функция, выражающаяся определен ным интегралом: , т- , ч 2 /*оо cos ас 6 ,ч Г (x)=l (x) = - j ^ у ^ т . (7) ч Л /п 0 K и д л я интегрирования этого уравнения ввел функции, к-рые и получили название Б . ф.. или ц и л и н д р и ч . функций. Позднее эти функции получили широкое применение во всех прикладных дисциплинах и в на стоящее время особенно часто встречаются в расчетах теории упругости, при иссле довании скалярных и векторных полей по большей части при наличии осевой сим метрии, а таюке при расчетах электри ческого тока в проводах. Руководясь исключительно соображения ми возможного упрощения задачи, Бессель ограничился тем случаем, когдар (в ур-ии 2) есть целое положительное число. В этом предположении Бесселево ур-ие (2) имеет только один частный интеграл (не считая постоянного мнолсителя), сохраняющий при х = 0 конечное значение. Этот интеграл вырал^ается рядом: Это—простейшая Б . ф. в т о р о г о р о д а , из к-рой получаются Б . ф. второго рода высших порядков при помощи того же ре куррентного соотношения (6). При помощи функций 1 (х) осуществляется разложение ряда (1), коэффициенты которого выража ются в определенных интегралах. Начиная с Ломмеля (1868), стали изучать Б . ф., соответствующие не только целым, но и любым вещественным и даже мнимым значениям параметра р. Соответствующая Б . ф. 1 (х) выражается тем ж е рядом (3), в к-ром Г(р+7г) есть значение Эйлеровой функции Г(ж) при х=р + к. Однако эти функции имеют преимущественно только теоретический интерес. В виду большой важности Б . ф. д л я це лого ряда практич. вычислений составле ны подробные таблицы, дающие значения Б . ф. д л я действительных и комплексных значений аргумента, значения корней этих функций, их графики и т. д. При пользо вании этими таблицами вычисления с этими функциями не представляют затруднений. п р Лит.: Краткое изложение диффер. ур-ий Бесселя: Т а м а р к н н M. Д . и С м и р н о в В. И . , К у р с выс ш е й м а т е м а т и к и , т . 2 , Л . , 1926; N i e l s o n N., H a n d b u c h d. T h e o r i e d. Z y l i n d e r f u n k t i o n e n , L p z . , 1904 ( н а и б о л е е о б ш и р н а я м о н о г р а ф и я п о Б . ф. с о б с т о я т е л ь ными лит. указаниями); S c h a f f h e i t l i n P., Die T h e o r i e d. Besselschen F u n k t i o n e n , L p z . , 1 9 0 8 ; п о д р о б ный перечень ф-л, кривые и таблицы: J a h n k e Е u. E m d e F . , F u n k t i o n e n t a f e l n m i t F o r m e l n u . K u r ven, L p z . , 1923; п р и м е н е н и я т е о р и и Б . ф.: М i s е s R . , D i e D i f f e r e n t i a l - u . Integralgleichungen der M e c h a n i k u. P h y s i k , Braunschweig, 1925; С о u г a n t u. H i l b e г t, D i e Methoden der m a t h e m a t i s c h e n Physik, В . 1, В . , 1 9 2 4 . В. Каган и Я . Шпильрейн. где Г (к) = к ! ° Он сходится для всех как вещественных, так и мнимых значений х и т. о. опреде ляет целую аналитическую функцию, т. н. Б . ф. jp-ro порядка. При р = 0 тот л^е р я д [ ( 0 ) = 1] дает простейшую Б . ф. 1 (х) или просто 1(х), которая встречается чаще всего; вследствие этого ее часто называют просто Б . ф. Она таким образом удовлетво ряет уравнению г 0 и очень просто выражается определенным интегралом: /(•<•) r J i (->) Из этой простейшей Б . ф. могут быть по лучены все Б . ф. высших порядков путем рекуррентной зависимости: БЕССЕМЕРОВАНИЕ, процесс продувки расплавленного чугуна воздухом для полу чения ковкого металла (стали) в жидком со стоянии путем выжигания примесей. Нужное количество тепла развивается в самом про цессе горением железа и его примесей—крем ния, марганца и углерода. Д л я достижения высокой конечной t° ок. 1 600°, как показа ли новейшие наблюдения, главное значение имеет содерягание кремния. Количество его может меняться, смотря по той скорости, с к-рой хотят вести процесс продувки; обычно содержание кремния устанавливается не ме нее 1,25 и не выше 1,75%. Лишь при пло хой организации работы (значительные про стои и вызываемое этим излишнее охлажде ние огнеупорной массы рабочего простран ства, в к-ром ведется продувка) может потре боваться более высокое содержание кремния. М а р г а н е ц является желательной при месью ягелеза, и в чугуне для продувки его стараются иметь ок. 1,5%. С е р а и ф о сф о р — вредные элементы, не удаляемые из металла продувкой; содержание их не дол¬ жно превосходить 0,10% и фактически часто бывает более низким (0,06—0,04% серы и 0,08—0,06% фосфора). Что касается угле рода, то содержание его регулируется усло виями доменной плавки, изменяясь в до вольно тесных пределах, и не может быть устанавливаемо по желанию; оно колеблет ся в среднем около 3,75%.