* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
421 ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 422 т р и у р а в н е н и я (где X, Y, Z — п р о е к ц и и в е к т о р а с и л ы F; и, v, w—проекции векто р а скорости v) м о г у т б ы т ь з а п и с а н ы в в е к т о р и а л ь н о й форме в в и д е : F-vy-v, р " " dt а четвертое у р а в н е н и е п р и м е т в и д : ш g S + Vfr») = 0. У р - и я ст. 830 т о й ж е с т а т ь и , где ?, ц, $— п р о е к ц и и в е к т о р а ] r o t v, з а п и ш у т с я в в и д е : х г F — ~ ур — уV = [ r o t v-v]. й мощи индекса п р и у обозначать тот вектор или с к а л я р , на к-рый действует дифферен циальный оператор, например: уЧАВ) =Ау В+Ву А + у у А В . Здесь у д е й с т в у е т т о л ь к о н а А, а у— т о л ь к о н а В. М о ж н о т а к ж е д л я в ы д е л е н и я величины, н е п о д в е р г а ю щ е й с я диф ф е р е н ц и р о в а н и ю , с н а б ж а т ь ее п о д с т р о ч н ы м знаком Т (комец), н а п р и м е р : пу • (ту • А) = ту • (пу • А). т т Вычислим некоторые вторые производные: 2 2 л в л в С дифференциальным оператором у мож но о б р а щ а т ь с я , к а к с в е к т о р о м , е с л и с о б л ю д а т ь нек-рые п р е д о с т о р о ж н о с т и ( н а п р и м е р различать величины, подвергаемые действию о п е р а т о р а у, от в е л и ч и н , н е п о д в е р г а е м ы х этому д е й с т в и ю ) . Т о г д а л е г к о п о л у ч и т ь ц е лый р я д полезн. преобразований, например: у(<рр) = (руц + груср; у-АВ = Ау-В+Ву-А+ [A r o t В]+[В r o t А]; у<рА = <руА + 4ус/?; V[A2?] = В[уА]-А[уВ]=В rot А - А rotJS. Последнюю формулу можно з а п и с а т ь и т а к : d i v U B ] = ([уА])В ЦуВ])А; здесь к р у г л , с к о б к и о г р а н и ч и в а ю т д е й с т в и е оператора у . Д е й с т в и е д и ф ф е р е н ц и ального оператора не распро с т р а н я е т с я через к р у г л ы е скоб к и ; например, скаляр i (Су-А)В = А(Ву-В)-В(Су-А) равен скалярному произведению из вектора В н а п р о и з в о д н у ю А в н а п р а в л е н и и С, п о м н о ж е н н у ю н а С. В е к т о р (у-А)В= Ву-А+[В r o t А] градиент с к а л я р н о г о п р о и з в е д е н и я АВ, в котором В считается постоянным. Поэтому надо считать неправильными обозначения вида (Ау)В и заменять их выражениями Ау&В, а т а к ж е ( A grad) .В и л и [ A grad] . В , где с и м в о л grad стоит вместо у. Символ grad доляеен п р и м е н я т ь с я т о л ь к о к а к с о к р а щ е ние с л о в а «градиент» в применении к скалярным функциям: Приведем примеры некоторых простран с т в е н н ы х п р о и з в о д н ы х . Е с л и г—радиус век т о р , а с—постоянный единичный вектор, то grad г = у; d i v у = —; rotr = 0; d i v (c-rc)=l; grad ( c r ) = c ; rot [cr]=2c; div r = 3 ; cy-r=c; grad f(r)=f (r) ; y У&г=—; 2 у&г 6; у гР 2 = р(р+ 1)гР~ ; 2 у In r = ^ . 2 Среди ф у н к ц и й , у д о в л е т в о р я ю щ и х у р а в н е н и ю у (р = 0, о т м е т и м ф у н к ц и и : - Ь I n | [ с г ] | ; I n (z + г ) , г д е z и г — ц и л и н д р и ч . к о о р д и н а т ы , <р—ази мут. Если на нек-рых поверхностях в поле скалярных или векторных величин проис ходят резкие изменения этих величин, то тогда рассматривают поверхностные производные э т и х в е л и ч и н . Е с л и и. обозначает единичный вектор, нормальный к п о в е р х н о с т и р а з р ы в а , а и н д е к с ы 2 и 1 от м е ч а ю т з н а ч е н и я в е л и ч и н <р и А п о обе стороны поверхности р а з р ы в а , то полу ч а е т с я : п о в е р х н о с т н ы й г р а д и е н т Grad
—c/jj); п о в е р х н о с т н а я дивергенция D i v А = чг(А —А ); поверхностный ротор R o t А = [п(А —А У]. М о ж н о п о к а з а т ь , что поверхностные производные я в л я ю т с я пре делом соответствующих пространственных производных; н а п р . , если считать поверх н о с т ь р а з р ы в а п р е д е л о м с л о я , т о л щ и н о й h, то произведение h d i v А стремится к поверх ностной дивергенции:
2 2 г 2 Х
l i i n / i d i v А = D i v А, п р и h, с т р е м я щ е м с я к 0. Кроме дифференциальных ф о р м у л , не ме нее в а ж н ы и н т е г р а л ь н ы е ф о р м у л ы . Следует отметить теорему Г а у с а , с в я з ы в а ю щ у ю по ток вектора А через замкнутую поверхность с о б ъ е м н ы м и н т е г р а л о м его д и в е р г е н ц и и , р а с пространенным по объему, заключенному в н у т р и этой о б о л о ч к и (j)&A dS=J в частности: