* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

419 ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 420 С к а л я р н ы е и векторные поля. Е с л и с к а л я р р имеет в о в с е х т о ч к а х н е к - р о ­ го п р о с т р а н с т в а о п р е д е л е н н ы е з н а ч е н и я , то т о г д а это п р о с т р а н с т в о я в л я е т с я полем с к а л я р а р. Д л я и з у ч е н и я и з м е н е н и я р в его поле необходимо з н а т ь , к а к будет и з м е н я т ь ­ ся р при перемещении в любом направле­ н и и и з его н а ч а л ь н о г о п о л о ж е н и я . Д л я э т о ­ го п о с т у п а ю т с л е д у ю щ и м о б р а з о м : 1 ) о к р у ж а ­ ют д а н н у ю т о ч к у М о б о л о ч к о й и р а з ­ бивают эту оболочку на э л е м е н т ы по­ верхности dS, п р и чем в е л и ч и н а в е к ­ т о р а dS р а в н а п л о щ а д и dS, а н а п р а в л е ­ ние определяется единичным вектором внешн е й н о р м а л и п; 2) о б р а з у ю т д л я каждого элемента поверх­ н о с т и п р о и з в е д е н и е pdS и вычисляют сумму этих про­ и з в е д е н и й по в с е й о б о л о ч к е 0 > р ^pdS; 3) д е л я т н а объем V, ная производная, называемая ротором в е к т о р а А. Эта п р о с т р а н с т в е н н а я п р о и з в о д ­ н а я есть в е к т о р , о б о з н а ч а е м ы й с л е д у ю щ и м о б р а з о м : r o t A~[yA]=lim^r(?[A dS] (иногда v=o о применяется и такое обозначение: curlJL). Проведем через точку М плоскость, пер­ п е н д и к у л я р н у ю к единичному вектору т (см. ф и г . 6). О к р у ж и м т о ч к у Ж з а м к н у т о й л и н и е й к. Р а з о б ь е м к о н т у р к н а э л е м е н т ы dr, н а п р а в л е н и е к-рых связано с вектором т по п р а в и л у ш т о п о р а , и об­ разуем д л я каждого элемента с к а л я р н о е п р о и з в е д е н и е A dr. Е с л и бы в е к т о р А изобра¬ Фиг. 6. жал с и л у , то A dr б ы л о бы э л е м е н т а р н о й р а б о т о й . Сумма п р о и з в е д е н и й в и д а A dr, в з я т а я по в с е м у к о н т у р у , н а з ы в а ­ ется ц и р к у л я ц и е й в е к т о р а А, и л и v 0 0 заключенный внутри оболоч­ к и ; 4) с т я г и в а ю т э т у о б о л о ч ­ к у вокруг точки М т. о., ч т о б ы объем V с т р е м и л с я к Фиг. 5. н у л ю (см. ф и г . 5). В п р е д е л е получается п р о с т р а н с т в е н н а я про­ и з в о д н а я с к а л я р н о й ф у н к ц и и р, о б о з н а ­ ч а е м а я в виде 0 л и н е й н ы м и н т е г р а л о м <^А dr. Е с л и р а з д е ­ л и т ь ц и р к у л я ц и ю в е к т о р а А н а п л о щ а д ь S, о к а й м л е н н у ю к о н т у р о м к, т о д л я б е с к о ­ нечно малой площади S мы имеем: l d r = w rot А. VP = H m 4f ?р dS. V=o J VP — в е к т о р , н а з ы в а е м ы й т а к ж е г р а д и е н ­ т о м р . П р о е к ц и я этого градиента на л ю ­ бое н а п р а в л е н и е , х а р а к т е р и з у е м о е е д и н и ч ­ н ы м в е к т о р о м т, р а в н я е т с я п р о и з в о д н о й р v дх> в э т о м н а п р а в л е н и и : т т/р = например, если р есть давление в любой точке ж и д ­ к о с т и , т о <^pd8—сила д а в л е н и я , д е й с т в у ­ ю щ а я на оболочку, окруясающую точку М . Т о г д а -^г$>р dS е с т ь с р е д н я я с и л а , д е й с т ­ в у ю щ а я на единицу объема внутри оболоч­ к и , а — v j ? есть сила, д е й с т в у ю щ а я на еди­ н и ц у о б ъ е м а в т о ч к е М . Вместо ур и н о ­ гда применяют обозначение g r a d p . Пространственные производные в вектор­ ных полях образуются точно таким же о б р а з о м . Е с л и и м е е т с я п о л е в е к т о р а А, т о , по о п р е д е л е н и ю , п о т о к о м в е к т о р а i через оболочку, о к р у ж а ю щ у ю точку М, н а з ы в а е т с я в ы р а ж е н и е ^А dS. ( Е с л и бы А изображало в каждой точке скорость движе­ н и я ж и д к о с т и , т о ^А dS р а в н я л с я бы о б ъ ­ ему жидкости, вытекающей в единицу вре­ мени через оболочку.) Р а з д е л и в на объем и переходя к пределу ( F = 0 ) , получаем по­ ток на единицу объема в точке М , назы­ в а е м ы й д и в е р г е н ц и е й в е к т о р а А. Обо­ значение: divJ. или у А = l i m 4 - <В Д dS. v=o J Т а к , если v изображает в к а ж д о й точке скорость д в и ж е н и я н е с ж и м а е м о й жид­ кости, то поток вектора v через любую за­ м к н у т у ю поверхность равен н у л ю , поэтому d i v t f = 0 . Е с л и в и н т е г р а л е по о б о л о ч к е з а ­ м е н и т ь с к а л я р н о е п р о и з в е д е н и е A dS в е к ­ торным, то получится н о в а я пространствен­ 0 0 0 0 v П р о е к ц и я р о т о р а i . на нормаль к д а н н о й п л о с к о с т и р а в н а цир­ к у л я ц и и в е к т о р а А в этой пло­ скости, д е л е н н о й на окаймлен­ н у ю п л о щ а д ь . Так, в электростатическ. поле ц и р к у л я ц и я вектора электрич. поля Е равна нулю д л я любого к о н т у р а . Поэтому в электростатич. поле, rot 23=0. Простран­ ственную производную вектора А можно т а к ж е образовать и при помощи п о с т о ­ я н н о г о е д и н и ч н о г о в е к т о р а т: = l i m ~ в и д и м , что д л я о б о з н а ч е н и я л ю б о й п р о ­ странственной производной при помощи ин­ т е г р а л а по о б о л о ч к е н а д о н а п и с а т ь п о д и н т е г р а л ь н о е в ы р а ж е н и е , з а м е н и в в нем в е к ­ т о р dS с и м в о л о м у; этот с и м в о л н а з ы в а ю т «набла» и л и д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м о п е р а т о ­ ром Гамильтона. Если выражать простран­ ственные производные в декартовых коор­ д и н а т а х , то дифференциальный оператор Г а м и л ь т о н а м . б. и з о б р а ж е н в виде с и м в о - . лического множителя: . д . г д , , д 1 = Ш + *Щ + *Ъ& Таким образом ту-А v % ду + dz у s ту -А = т дЛ J к д д д дх ду dz А А A дЛ х 3 дЛ &* ~ЗТ и т. д . dz П р и м е н е н и е в е к т о р н ы х ф-л з н а ч и т е л ь н о облегчает понимание различ. преобразова­ ний; н а п р . помещенные в т. I Технической Э н ц и к л о п е д и и в ст. Аэродинамика, с т . 829,