* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

417 ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 418 Разложение А на составляющие параллель­ но р и п е р п е н д и к у л я р н о * д а е т ( п р й ра ф 0): />в ~ ра Д л я определения точки Р в пространстве относительно в ы б р а н н о й п р о и з в о л ь н о в п р о ­ странстве т о ч к и О с л у ж и т р а д и у с - в е к ­ т о р г, к о т о р ы й с о в п а д а е т по в е л и ч и н е и н а п р а в л е н и ю с в е к т о р о м ОР. В о т л и ч и е от р а с с м о т р е н н ы х до с и х п о р в е к т о р о в р а д и у с в е к т о р з а в и с и т не т о л ь к о от п о л о л е е н и я к о ­ нечной т о ч к и Р , но т а к ж е и от п о л о ж е н и я н а ч а л ь н о й т о ч к и О. У р а в н е н и я , п о д ч и н я ю ­ щие радиус-вектор определенным условиям, дают р е ш е н и е р я д а з а д а ч г е о м е т р и и и м е х а ­ н и к и , н а п р . : (г—г ) А = 0 е с т ь у р - и е п л о с к о ­ сти, п р о х о д я щ е й ч е р е з т о ч к у г п е р п е н д и ­ к у л я р н о к А; у р а в н е н и е {r—r ) [mri] = 0 е с т ь у р а в н е н и е п л о с к о с т и , п р о х о д я щ е й через т о ч ­ к у г п а р а л л е л ь н о тяп; [т]=М(при и =1) есть у р а в н е н и е . п р я м о й , п а р а л л е л ь н о й » , п р о ­ х о д я щ е й от н а ч а л а О н а р а с с т о я н и и М, п р и чем п л о с к о с т ь , п р о х о д я щ а я ч е р е з О и через эту п р я м у ю , п е р п е н д и к у л я р н а к М. Е с л и имеется р я д м а т е р и а л ь н ы х т о ч е к P радиу­ сы-векторы к о т о р ы х р а в н ы соответственно г , а м а с с ы m , то ц е н т р т я ж е с т и т а к о й системы о п р е д е л я е т с я радиусом-вектором г х x 2 х h { t р и а н т н ы относительно в р а щ е н и я коор­ динатных осей. Далее можно вывести сле­ дующие соотношения: [AB]=(AyB -A By)i+(A B -A B )j + j ^ + (А Ву~А В )к = А А s z e x x e х у х у [АВ]С = В Ау А В„ В. В 3 г = ^гг~. 2 ™< Если твердое тело вращается с уг- л о в о й с к о р о с т ь ю to в о к р у г о с и , п р о х о д я ­ щей ч е р е з н а ч а л ь н у ю т о ч к у О в н а п р а в л е ­ нии е д и н и ч н о г о в е к т о р а » , т о это в р а щ е ­ ние х а р а к т е р и з у е т с я в е к т о р о м угло­ в о й с к о р о с т и w = tm. Т о г д а л и н е й н а я с к о р о с т ь v д в и ж е н и я л ю и о й т о ч к и Р этого т е л а , р а д и у с - в е к т о р к о т о р о й г, о п р е д е л я е т с я по ф-ле: v=[<ог]. Если на эту точку Р дей­ ствует с и л а F, то момент этой с и л ы о т н о ­ сительно т о ч к и О р а в е н в е к т о р у M=[rF]. Следовательно, д л я того чтобы Ж остава­ л о с ь п о с т о я н н ы м , к о н е ц р а д и у с а - в е к т о р а г, т . е . т о ч к а п р и л о ж е н и я с и л ы JF, м о ж е т п е ­ р е м е щ а т ь с я т о л ь к о п а р а л л е л ь н о F. Д л я действительного численного з а д а н и я в е к т о р а необходимо в ы б р а т ь к а к у ю - л и б о сис­ тему к о о р д и н а т , о т н о с и т е л ь н о к - р о й о п р е д е ­ ляется вектор, так к а к абсолютного напра­ в л е н и я в п р о с т р а н с т в е не с у щ е с т в у е т . В ы ­ берем т р и в з а и м н о п е р п е н д и к у л я р н ы х е д и ­ н и ч н ы х в е к т о р а i , j , к, п а р а л л е л ь н ы х к о о р ­ д и н а т н ы м о с я м OX, OY, OZ и о б р а з у ю щ и х п р а в у ю с в я з к у , ijk = +l. Т о г д а p=j* = =к = 1, ij=jk = 7ci=0; [ij] = k, [jK] = i, [ki]=J. Т е п е р ь молено р а з л о ж и т ь л ю б о й в е к ­ тор п а р а л л е л ь н о е д и н и ч . в е к т о р а м i, j , к: A = Ai-i + Aj-j + Ak-k=A i+A j+A k, где A =Ai, A =Aj, А =Ак—проекции, или к о о р д и н а т ы , в е к т о р а А. Р а в н ы м о б р а з о м : 2 x v g x y е Сх I Эти ф о р м у л ы п о з в о л я ю т в ы р а ж а т ь в е к т о р ­ ные соотношения в координатах, и наоборот, н а п р и м е р : Xa-^-Yb+Zc—скалярное произ­ в е д е н и е в е к т о р а с п р о е к ц и я м и X, Y , Z н а в е к т о р с п р о е к ц и я м и а, 6, с. В е с ь м а в а ж н о е з н а ч е н и е и м е ю т т . н . в е кт о р ф у н к ц и и , а в особенности л и н е й н ы е векторфункции, в ы р а ж а ю щ и е один вектор линейной функцией другого. Такие функции встречаются в теории упругости, в гидроди­ намике, в теории векторных полей, в механи­ к е с и с т е м . Т а к , у п р у г а я с и л а JP, д е й с т в у ю ­ щ а я на единицу поверхности деформирован, т е л а , е с т ь л и н е й н а я в е к т о р ф у н к ц и я еди­ нич. нормального вектора » , перпендикуляр­ ного к п л о щ а д к е , н а к - р у ю д е й с т в у е т с и л а : JP = » ? • ia + nj • j a + nk - кб . Т а к и е векторфункции изучаются в а ф ф ин о р н о м , и л и тензорном исчислении (см.). Векторный анализ. Функции с к а л я р н о г о п а р а м е т р а . Если дан­ н ы й в е к т о р з а в и с и т от с к а л я р н о г о п а р а м е ­ т р а , н а п р и м е р от в р е м е н и t, то д л я и з у ч е н и я этой ф у н к ц и ­ ональной зависимости срав­ нивают различные положения конца вектора при неподвиж­ ном н а ч а л е . К о г д а t н е п р е ­ рывно изменяется, конец век­ т о р а A(t) о п и с ы в а е т н е к о т о ­ Фиг. 4. р у ю к р и в у ю (см. ф и г . 4). П о определению, геометрическая производная в е к т о р а A(t) е с т ь п р е д е л с л е д . в ы р а ж е н и я x 2 3 ^ = lim-* >-^ . «* , _„ ft О ч е в и д н о , что п р о и з в о д н а я в е к т о р а п о с т о я н ­ ной длины п е р п е н д и к у л я р н а к этому век­ тору. Рассмотрим кривую, радиус-вектор всех точек к-рой г является функцией ду­ ги к р и в о й s. Т о г д а п р о и з в о д н а я ^ = t, где t—единичный касательный вектор к кри­ в о й , о п и с ы в а е м о й к о н ц о м г. Д а л е е j ^ = kn, где Jc—кривизна кривой, а »—единич. век­ т о р г л а в н о й н о р м а л и . В е к т о р ы t и » , по определению, образуют с о п р и к а с а ющ у ю с я п л о с к о с т ь к р и в о й , а Ъ =[tri]— единичный б и н о р м а л ь н ы й вектор. М о ж н о т а к ж е п о к а з а т ь , что ^ | = — * » , где х — с к а л я р ; число х называют кручением к р и в о й . Е с л и р а д и у с - в е к т о р з а в и с и т от д в у х н е з а в и с и м ы х с к а л я р н ы х п е р е м е н н ы х , т . е. r=(u, v), то к о н е ц этого в е к т о р а о п и с ы в а е т п о в е р х н о с т ь . И, наконец, если радиусв е к т о р з а в и с и т от т р е х н е з а в и с и м ы х с к а ­ л я р н ы х п е р е м е н н ы х и, v, w, то к о н е ц г описывает часть пространства. Переменные и, v, w н а з ы в а ю т с я криволинейными к о о р д и н а т а м и к о н ц а в е к т о р а г, 14 ( t + ft (t) B = B i+B„3 + В к; С= C i+C j+ С к. Н е т р у д н о в и д е т ь , что А +В = (A +B )i+{A +By)j+{A +B )k АВ =А В + АуВ + А В ; 4 = А + А§ + А*. Д в а п о с л е д н и х в ы р а ж е н и я о п р е д е л е н ы гео­ метрически н е з а в и с и м о от в ы б о р а к о о р д и ­ н а т н ы х осей, они с о х р а н я ю т поэтому н е и з ­ менное з н а ч е н и е п р и в р а щ е н и и к о о р д и н а т ­ ных осей, и л и , к а к г о в о р я т , они и н в аx я x y е x x v g z а 2 Х Х у Й Я Т. 9. m. III.