* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

797 ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРИБЛИЖЕННЫЕ и н т е г р а л а , е с л и fix)—многочлен в ы ш е 2 м — 1 ; в этом случае: при п = 2 _ Ж х 798 степени не вую параболой второго п о р я д к а , имеющей те ж е о р д и н а т ы , ч т о и к р и в а я в т о ч к а х x ж *+1, площадь, которая ограни­ чена сверху дугой этой параболы, о к а з ы ­ в а е т с я р а в н о й ~ (y + 4y + y ). Для 2i] 2 2i 2i+1 2 i + 2 = х 2 = 0,57735, R X = R 2 = ; при п = 3 X l в с е г о и н т е р в а л а ( а , 6) п о л у ч и м Симпсона: формулу = x s = 0,77460, а ? , = . 0 , 8. 18& R = R = ^, X S ь при w = 4 а — ж = Xt = 0,86114, х 4 г ж = х 2 3 = 0,39998, не­ Тре¬ + 4у + ... + + У 2 т - 1 + У2nd • П о г р е ш н о с т ь п р и этом о к а з ы в а е т с я р а в н о й а В 1 = В л = 0,17393, В = Д , = 0,32607. П р и б л и ж е н н о е о п р е д е л е н н ы х вычисление _ 1_ ( о - а ) у"" п*& 5! & 4! 5 интегралов. а и, следовательно, при увеличении п убы­ в а е т п р и б л и з и т е л ь н о п р о п о р ц и о н а л ь н о 4-й степени h. 2 б у е т с я н а й т и з н а ч е н и я FiX) = j f / ( # ) dx д л я С dx П р и м е р . Вычислить In 2 = — . Берем 1 п=4; Л = - ~ ; у — 1,0000; у = 0,8000; у 0 х 4 2 = = 0,6667; 2/8=0,5714, # = 0,5000. П р и б л и н^енное з н а ч е н и е и н т е г р а л а б у д е т : | (Уо + 4 y i + 2/2 + 4 у + у ) = 2 п е р е м е н н о г о X. П о с к о л ь к у т о ч н о е в ы р а ж е ­ н и е FiX) н е и з в е с т н о , м ы д о л ж н ы п о с т р о ­ и т ь т а б л и ц у з н а ч е н и й э т о й ф у н к ц и и и л и ее г р а ф и к . З д е с ь м ы о с т а н о в и м с я н а 1-м с п о ­ собе ( 2 - й с п о с о б — с м . Графическое инте­ грирование) . П р и м е н и м ф о р м у л у т р а п е ц и й . Дадим X следующий р я д значений: Х —а; Х =а-{-Ь,,...; X =a-{-kh,... Получаем: 0 г k 3 4 a+kh = = 0,6932; FiX )^0;FiX )= 0 k j a fix)dx^ т а б л и ц ы д а ю т : I n 2 = 0,6931. Д а л ь н е й ш и е методы приближенного и н ­ тегрирования имеют своей ц е л ь ю дать в о з ­ можность вычислять определенный инте­ г р а л , з н а я конечное число ординат, п р и по­ мощи формулы вида: А = ВхУг + R^y + . . . + % \у* + Ух + • • • + Ук-х + Ук a+(k+l)h ] , Д Х Л + 1 ) = / а fix)dx& R«y , n где Rf с у т ь о д н и и т е ж е ч и с л а д л я л ю б о й ф у н к ц и и у, з а в и с я щ и е т о л ь к о о т ч и с л а п [чтобы у с т р а н и т ь и х з а в и с и м о с т ь о т д л и н ы интервала, мы вводим новое переменное t формулой: п р е о б р а з у ю щ е й л ю б о й и н т е р в а л ( а , Ъ) в и н т е р в а л ( — 1 , + 1)]. К э т о й г р у п п е ф о р м у л о т н о с я т с я : ф - л а К о т е с а , ее ч а с т н ы е с л у ч а и — формула трапеций и ф-ла Симпсона, затем ф-ла Чебышева: j fix) dx = l [ftxj -1 * [ i ^ o + Ух + ••• + Ук + ^Уш] , у ). к+1 откуда FiX^) = F(X ) k + щ к + + fix,) + ...+ fix )], n , где з н а ч е н и я ф у н к ц и и б е р у т с я в с о в е р ш е н ­ но о п р е д е л е н н ы х т о ч к а х . При п=2 п = 3 при п = 4 =ж = при п = 5 -Хг = х = при X l 4 5 X l = 3 + х = 0,57735; 2 2 Эта формула позволяет по з н а ч е н и я м Уо> Уг, З/а»--- п о с л е д о в а т е л ь н о в ы ч и с л и т ь FiX,), FiX ) и т. д. П р и б л и ж е н н о е интегрирова­ н и е д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х у р-и й. Д а ­ но д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е у р а в н е н и е ^ = fix,у); требуется д л я разных значений х вычислить значение того р е ш е н и я дифференциального у р - и я yix), к - р о е п р и х=а п р и н и м а е т з н а ­ ч е н и е у = Ъ. З а д а ч а с в о д и т с я к т о м у , ч т о б ы при заданном (малом) п р и р а щ е н и и h неза­ висимой переменной вычислить прираще­ н и е к, к о т о р о е п о л у ч а е т у(х). И д е я м е т о д а Р у н г е состоит в т о м , ч т о б ы в ы р а з и т ь э т о приращение к в виде суммы: 2 Д А + RJH + R Jc s 3 + Д 7с , 4 4 = x = 0,70711, х = 0; • 0,79465, - х = я-, = 0,18759; 2 4 0,83250, - ж , = ж = 0,37454, ?С = 0 И т . д . Сюда ж е о т н о с и т с я ф о р м у л а Г а уе а , к о т о р а я д а е т д а ж е точное з н а ч е н и е 3 где R —одни и те ж е д л я в с е х у р а в н е н и й , а k-i п р е д с т а в л я ю т з н а ч е н и я fix,у) д л я не­ которых определенных значений аргумен­ тов, у м н о ж е н н ы е н а п р и р а щ е н и е Тг. Р у н г е д а л несколько схем д л я значений R и д л я в ы ч и с л е н и я к; о с о б е н н о о н р е к о м е н д у е т следующую: B к = к х + + т^з +