* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

391 ИСЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ 392 м а л о й . Так, величина ^ — бесконечно ма­ ла при неограниченном увеличении абсо 1 на основании общих теорем, например: 2х*-х+.4 ,. х + х* ,. 2 п лютного значения ж; в самом деле X для всех значений х, для к-рых х 1 < 0,01, если только | х > 100 Да­ напр лее, sin х—бесконечно малая при достаточно малом ж, т. к. | sin sc | всегда меньше х и, следовательно, | s i n a j | < e , если | ж | < е . Из постоянных величин только 0 удовлетворя­ ет определению бесконечно малого. Теоремы о бесконечно ма­ л ы х : 1) алгебраич. сумма ограниченного числа бесконечно малых бесконечно мала; 2) произведение бесконечно малой а на о г ­ р а н и ч е н н у ю величину /3 (т. е. существу­ ет такое положительное число М, что р <М при рассматриваемых значениях р) беско­ нечно мало; в частности, произведение двух . бесконечно малых бесконечно мало. П р е д е л . Если переменная у изменяет­ ся так, что разность между нею и нек-рой постоянной Ь становится бесконечно малой Р, то говорят, что предел у есть Ь; это за­ писывается так: lim?/ = b, или у-*-Ъ. Из определения предела следует, что у = Ь--Р (Р—бесконечно малая) или что [у — Ь м. б. сделана < е. Очевидно, предел бесконечно малой величины есть 0. Если переменная при своем изменении становится по абсолют­ ной величине больше любого положительно­ го числа М, т. е. у > М, то у называется бесконечно б о л ь ш о й ; бесконеч­ но большая величина не имеет предела, но условно говорят, что предел у в этом слу­ чае равен бесконечности: l i m у = оо, или у^оо, напр.: l i m since = 0; l i m ^ = 0; l i m t g s c = o o . X-> - <е lim —.—i— =X-l i m 1 - — = Xlim - = 2. . Понятие предела является основным в диф­ ференциальном и интегральном исчислении. Непрерывность функции. Рассмотрим значение, ф-ии f(x) при х = а, т. е. f (а), и значения той же ф-ии при близ­ ких к а значениях х. Если изменение ф-ии бесконечно мало при достаточно малом из­ менении х, то говорят, что / (ж) н е п р е ­ р ы в н а в т о ч к е х=а. Это можно запи­ сать так: для любого (сколько угодно ма­ лого) е > 0 найдется достаточно малое 6 > 0 такое, что |/(ж) — /(а) | < е, как только | х — а | < < (фиг. 1). Пользуясь определением 5 предела, непрерывность при ж = а можно выразить так: l i m /(ж) = / ( а ) , т. е. предел X— функции равен значению функции в пре­ дельной точке. Ф-ия, непрерывная в каждой точке отрезка, называется н е п р е р ы в ­ н о й н а о т р е з к е . Если в точке х=а л Фиг. 2. Фиг. 3. Т е о р е м ы о п р е д е л а х : 1) предел постоянной равен этой постоянной; 2) пре­ дел алгебраич. суммы переменных равен алгебраической сумме пределов; 3) предел произведения равен произведению преде­ лов; 4) предел частного равен частному пределов, если только предел делителя ф0; в случае, если предел делителя равен 0, а пре­ дел делимого Ф 0, мы имеем бесконечно боль­ шую, ее предел (в ус­ ловном смысле) есть оо; если же и предел дели­ мого равен 0, то имеем неопределенный слу­ чай (предел отношения двух бесконечно малых). Здесь может существо­ вать предел, но его нахождение требует ка­ ждый раз особых рассуждений; так, доказыsin х условие непрерывности не выполнено, ф-ия называется р а з р ы в н о й при х=а. Так, если при ХФЪ /(ж) = 0, а / ( 0 ) = 1 , то ф-ия разрывна при ж = 0 , т. к. предел функции равен 0, а значение в предельной т о ч к е = 1 . Ф-ия у = arc tg ^ разрывна при ж=0, так как, если х приближается к 0 по положительным значениям, то предел ф-ии равен ?; если же х приближается к 0 по отрицательным зна­ чениям, предел равен — ~ , т. е. limarctg " Х->-0 * не существует (фиг. 2). Ф-ия у = ^ имеет раз­ рыв при х=0, т. к. предела в истинном смы­ сле слова нет: он равен оо (фиг. 3). В ана­ лизе бесконечно малых, и особенно в прило­ жениях, мы имеем дело гл. обр. с непрерыв­ ными функциями. Лит.: см. Дифференциальное исчисление и Инте­ гральное исчисление. В. Степанов. И С Ч И С Л Е Н И Е К О Н Е Ч Н Ы Х РАЗНОСТЕЙ, вается, что l i m — — = 1 ( с м . Дифференциалг;X—>0 * мое исчисление, Н е о п р е д е л е н н ы е в ы ­ р а ж е н и я ) . Точно так же неопределенным является предел отношения двух бесконечно больших величин, но иногда его можно вы­ числить после преобразования выражения, отдел математическ. анализа. В дифферент циальном исчислении (см.) мы даем аргумен­ ту ф-ии приращение, к-рое является беско­ нечно малым (стремится к 0); в И. к. р . мы ограничиваемся конечными приращениями аргумента, равными некоторому постоян­ ному числу h. Основным понятием является р а з н о с т ь ф-ии, Д/(ж): Д/(ж) = /(ж + ft)-/(ж). Разность есть ф-ия от ж; ее разность есть 2-я разность, Д /(ж): ДД /(ж) - Д /(ж) - /(ж + 2ft) - 2/(ж + ft) + f(x). а 2