* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

45 ИНВАРИАНТЫ 46 группы преобразований Т называется такая ф-ия координат а^ * и ж[ двух какихлибо произвольно взятых точек многообра­ зия М , к-рая не меняет своего вида при всех преобразованиях, входящих в состав данной группы. Т . о., если Г = Т М ) V ) т* ) 1 2) п 1 через х и а коэфф-ты а , а ^ , а , a^ о соответственно через а, а , а , Ь, Ь Ь , то получим: х = а + а ж+ a i 1 ,ч х а t 2) а х 2 ь я г 2 ( 1 5 1 1 Подставляя значение (15&) в равенство (ж ( 2 ) Ж< 2 ^ Ж (2) -^ ) -с (« >-^ )) = ( а ) 2 а ( 2 ) ( 1 ) г г ) 2 2 ( 2 1 2 ж есть И . данной группы, то должно иметь место равенство Г Т(^ 7.(1) 7.(1) V( О -г^ т( 2 ) X (*)) T W ( T 8 ) 2 _ Т< >) = (ж -ж^) -с (* -« ) , (16) выражающее требующуюся инвариантность, и произведя соответствующие преобразова­ ния, получим следующие соотношения меж­ ду коэффициентами: < Ч = - ^ ; Ь -~ Я при всех преобразованиях данной группы; так, для группы параллельного переноса (11) И . будет Ii-xW-xW, 2) * ; 65 — - ^ . (17) (г = 1, 2, х) и), г — (12&) — где и = — —; при этом группа преобразова¬ ний (15&) принимает следующий вид: так как Г = х[ — х = ж[ + а { а) х^ a = t Инвариантным ур-иём данной группы пре­ образований Т называется такое ур-ие, со­ держащее координаты каких-либо двух то­ чек многообразия М , п ж=а + 1< 5 С* (18) т / (1) (1) (1), (1) (8) (г) 7,(2)^ Л /-(ОЛ к-рое имеет при всех преобразованиях груп­ пы те и только те решения, что и ур-ие 7^(1) Л 1 ) ~(») ^(2) TT(2)V Л рассматриваемое как уравнение относитель­ но х[^ и х[^ . Если дана какая-либо ф-ия (12) координат ж[ и ж| , то совокупность всех преобразо­ ваний, при к-рых эта ф-ия сохраняет свой вид, образует группу точно так ж е , к а к все преобразования, сохраняющие инвариант­ ность данного ур-ия (13). В частной теории относительности Эйн­ штейна и в электродинамике имеет фунда­ ментальное значение особая подгруппа аф­ финной группы в М , называемая о б щ е ю г р у п п о ю Л о р е н ц а и имеющая следу­ ющий инвариант: г) 2) 4 Полученная группа Лоренца в М , имеющая И . (16), называется ч а с т н о й груп­ п о й Л о р е н ц а и имеет фундаменталь­ ное значение к а к в частной теории относи­ тельности, так и в новейшей волновой меха­ нике (de Broglie и др.). Теория И . и соответствующих групп пре­ образований имеет крупное значение, т. к. по современным воззрениям к а к свойства пространства, т а к и основные свойства зако­ нов природы не зависят от координатных систем, т. е. они инвариантны по отношению к преобразованию координат. Об И . с точки зрений тензорного анализа см. Тензорное исчисление. В теоретич. механике играют известную роль т . н. и н т е г р а л ь н ы е И . , сущ­ ность к-рых в простейших случаях заклю­ чается в следующем. Допустим, что имеется система дифференциальных ур-ий: 2 dXj у <1х^ -у dxn ~dT~ & ~dt~ *&""~~df~ х "у п (л о & - ^ > ) + (х -> -*?>)• + -c {xf-&x?Y. (14) Кроме того, встречается аффинная подгруп­ па преобразований в М , имеющая инвари­ антное уравнение той же формы, что и (14), т. е. инвариантное ур-ие I = {х^-х^У + ( ж < > - х ? У + ( я - <#>)••(2) (14&) - с Щ •X ) = 0 Последняя группа преобразований носит название р а с ш и р е н н о й г р у п п ы Л о ­ р е н ц а . Аналогично можно говорить об общей и расширенной группах Лоренца в многообразии М . В последнем случае фор­ мулы аффинного преобразования имеют сле­ дующий вид (из ф-лы 7): в 2 4 2 2) 3 й 2 2 2 где Х , X , Х суть нек-рые ф-ии пере­ менных x х ,..., х и t. Если принять пе­ ременные х за координаты пространства п измерений, а t рассматривать к а к меру вре­ мени, то совокупность дифференциальных уравнений (19) определит некоторое семей­ ство кривых (-D). Ур-ия движения точки по какой-либо из кривых семейства (Х>), а тем самым и вид кривой соответствуют опреде­ ленным начальным условиям движения, т. е. значениям координат ж?, х%, жй, имев­ шим место в момент t°. Обозначим это на­ чальное положение точки через Р ° , а поло­ жение ее в момент f через Р . Допустим, что мы рассматриваем вариации координат при перемещении Р° по нек-рой кривой С или при соответствующем перемещении Р по кривой С, и возьмем далее интеграл г z п lt 2 п { 0 » i = i+ S x +a x ж = а +а< >ж аЛ »() < j & Или, если обозначить для простоты ж и ж a a 1 ) l) t a a 2 ( 1 5 ) а я 1 + х 8 I = jQ 8x + Q 6x + ...+Q 8x (20) где Qi суть нек-рые ф-ии переменных х ж , ж , x v i t , а интеграл взят вдоль кривой С 1 1 2 2 n nf 1г а 3 n