* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

41 ИНВАРИАНТЫ формулы линейного преобразования: х = а^ х + а* * х,2 & 1 г х 42 ности длины маятника при всяких "f*,* а не только для двух определенных значений t°, как то было достижимо при, применении обы­ кновенной стали. Изучая изменение упругих свойств нике­ левой стали, Гильом нашел еще один способ не применения. Коэфф. упругости данной никелевой стали при разных t° изменяется вместе с изменением термич. коэфф-та рас­ ширения: чем этот последний меньше, тем коэфф. упругости больше. Но если к нике­ левой стали прибавить марганец или хром, то способность ее к изменению упругих свойств ослабляется, и при содержании 12% хрома это изменение в пределах определен­ ных t° становится почти незаметным. По­ лучаемый т. о. сплав, названный Гильомом э л ь и н в а р о м (elasticite invariable), т. е. сплав с неизменяющимся коэфф-том упру­ гости, наглел себе применение в некоторых областях техники, напр. для изготовления нитей в крутильных весах, для изготовле­ ния часовых пружин и т. п. См. также Спр. ТЭ, т. I I / Лит.: G - u i l l . i u m e Ch. E d . , Etudes metrologiques sur les aciers au nickel, «Travaux et memoires du Bureau international des poids et mesures», Paris, 1927, t. 17; C h e v e n a r d P., Recherches experimentales sur les alliages de fer, de nickel et de chrome, ibid. х — 2 x i а ~& 2 х. 2 Подставляя эти значения х и х в данную ф-ию, получаем преобразованную ф-ию: х 2 <р =АМ?х +а[ Ч ) 1 г 1 г + 2) + 2А (а^ х, + 2 х )(а< г 1 х + а[ х) х г 2) + + А (а^х 3 + а^х У 2 = 3 = А х г + ~А х^ х 2 +А 2 х, где а А, а 1) 2 (2)2 + А (а? а<> + а?> а<">) + + А, 1 4& (I) + 2А а<*> а< > + А а[ & А &3 = А, а " 1 ""2 ~ " 2 ~2 ""2 Нетрудно убедиться, что в рассматриваемом случае имеет место следующее равенство: 2 1Г 2 2) щ 2 г } ( A . A ^ A D D ^ A ^ - A I , • в т е о р и и ф о р м , такая функция коэфф-тов формы, которая, будучи умножена на модуль данного линейного пре­ образования, равна аналогичной функции коэфф-тов преобразованной формы (см. Ал­ гебраическая форма). Линейное преобразо­ вание формы Цх , ), содержащей tt переменных х , х х , состоит в замене этих переменных выражениями вида: г г 2 п ИНВАРИАНТЫ, А . Доброхотов. где t s D 1 2 (a) 2 так что A A — A есть И . рассматриваемой квадратичной формы. И . последних типов встречаются в аналитической геометрии. В т е о р и и г р у п п И. группы преобразо­ ваний называется такая ф-ия координат х^ (2) и х двух каких-либо точек многообразия w-ro измерения М , к-рая при всех преоб­ разованиях, принадлежащих к данной груп­ + ttn^ХЦ пе, сохраняет свой вид. а^х^... -f- а^ Хп Пусть имеем п п е р е м е н н ы х ^ , х , х , х = а ^х. + (1) х , могущих принимать всевозможные зна­ чения от +оо до —оо. Совокупность М ,(п) х = а< х + а™ х +...+ аГхп всех значений этих переменных называется многообразием n-го измере­ где;г , х , ..., х —новые переменные. Ф-ия н и я . Совокупность каких-нибудь опреде­ q> (х ,х ,..., х ), получившаяся в результате ленных значений этих переменных х (1) подстановки выражений (1) в данную функ­ X&( 1 ) называется т о ч к о й или э л е¬ цию /, называется преобразованной функ­ х&(-1 ) п цией, а определитель м е н т о м многообразия, а отдельные значе­ (1) (О ния этих величин называются к о о р д и н а ­ а 2 & т а м и этой точки. Если переменные х , х ,.... (г) х связаны определенным образом с пере­ а (2) (2) менными х , х , ...,х другого многообразия n-го измерения М то говорят, что одно (п) а< > а"1 > "{п) » & 2 многообразие переходит в другое при по­ составленный из коэфф-тов выражений (1), мощи преобразования координат или при называется модулем преобразования. Если помощи точечного преобразования, при чем А , A*,..., J. —коэфф^ты членов данной обычно требуется еще, чтобы каждая точ­ формы / , а А А , ..., A +i—коэфф-ты пре­ ка одного многообразия переходила в одну и образованной формы <р, то возможно образо­ только в одну точку другого многообразия, вать такую ф-ию I от А , А , ..., А + на­ и обратно. Наиболее простым точечным пре­ зываемую И. данной формы к-рая, будучи образованием является преобразование, при умножена на модуль преобразования в не­ к-ром координаты преобразованного много­ которой степени, будет равна такой же ф-ии образия М являются линейными ф-иями преобразуемого многообразия М , т. е. при от А , А , ..., А , так что котором имеют место следующие равенства: 1{А , Aj,..., А ) • D = п = 1(А , А ,..., А ). (^) = + 2 a-f ж,; = 2,3,..., и). (4) Так, напр., для квадратичной формы с двумя 1=1 переменными А х + 2А х х + А х имеем Условием того, чтобы каждая точка М переп 2 х 2 3 п п) п п х 2 г 2 п х 2 п х г п г 2 п п а )п г n+i 19 2 n г 2 п и п г 2 н+1 п x Х и+1 г г п+1 г 2 1 2 ъ п