* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

395 МОДУЛЬ 396 Между модулями ЕиЕ& существует зави­ симость, к-рую можно установить след. об­ разом. Допустим, что из рассматриваемого слоя вырезан прямоугольный параллелепи­ пед 12...8 (фиг. 2) с квадратным основани­ ем, сторона которого равняется Z . Пусть далее на боковые поверхности призмы дей­ ствует давление q, а на плоскости основа­ ний—давление р, причем требуется, чтобы в результате всех этих давлений длина ре­ бер 1 оставалась неизменной, а изменялась только длина боковых ребер L . Вследствие давлений р на плоскости оснований длина .L превращается в L (1 — ар). Два боковых давления q, будучи приложены к граням 1265 и 3487, уменьшают длины 85, 76, 41 и 32 и увеличивают длину L , при этом каж­ дая единица длины по­ следней становится рав­ ной длине 1 + auq, где , 1 к . и есть отношение отно­ сительного поперечного к. сжатия к относительно­ 1 «— му продольному растя­ жению (коэф-т Пуассо­ l кб на). Вследствие этого длина L превращает­ ся в L (l— ар) (1 + a/j,q). Учитывая далее влия­ р ние давлений q на гра­ Фиг. 2 . ни 1485 и 3267, полу­ чаем, что под одновременным воздействием всех давлений длина L превратится в 0 0 0 0 0 0 с другой, существуют для одного и того же материала определенные соотношения. Д л я неопределенно большого слоя очевидно /* = 0, так что в этом случае имеем из (15) и (14) Е& = Е и а& = а . При и = ~ имеем: а & = 0 и Е& = о о . Допустим, что поверхность нек-рого тела объемом v подвергается всестороннему сжа­ тию, равномерно действующему на всю по­ верхность тела с давлением р. Опытным путем найдено, что изменение Ду объема тела при малых деформациях прямо про­ порционально величине объема v и давле­ нию р, так что Av = y-pv, (16) где у—нек-рый коэф. пропорциональности, называемый к о э ф - т о м в с е с т о р о н н е ­ г о с ж а т и я ; величина же К = — называется М. в с е с т о р о н н е г о с ж а т и я , или М. о б ъ е м н о й у п р у г о с т и тела. Меж­ ду модулями К и Е существует следующая зависимость: К = 3(1 - 2 / 1 .) * ~ ~ — (17) При и = имеем К = Е. Пусть имеются две параллельные плос­ кости АВ и CD, проведенные внутри како­ го-либо твердого тела (фиг. 3), и пусть да­ лее одна из плоскостей CD удерживается неподвижно, а другая плоскость АВ под­ вергается действию параллельных сил, ле­ жащих в этой же плоскости и равномер­ но распределенных по ней, вследствие че­ го плоскость АВ сдвинется по отношению к плоскости CD, приняв положение А&В&. Проведем плоскость KLMN, перпендикулярную как к пло­ 8 В& скости АВ, так и к действующим в ней силам. После сдви­ га плоскости АВ плоскость KLMN примет положение K&L&MN, образо­ вав с предыдущей двугранный угол ц>, называемый уг­ л о м с д в и г а . Как показывает опыт, угол сдвига у> прямо пропорционален действую­ щей силе р, приходящейся на единицу пло­ щади АВ, так что у, = пр, (18) где п есть нек-рый фактор пропорциональ­ ности, называемый к о э ф и ц и е н т о м с д в и г а . Величина G — называется М. с д в и г а , так что ц! = ^ , или р = Grp. (19) Из (19) видно, что при у> = 1, G = р, т. е. М. сдвига равен такому напряжению, под дей­ ствием которого угол сдвига был бы равен единице, т. е. одному радиану, если бы значи­ тельно ранее этого не были достигнуты пре­ дел упругости тела и затем разрушение по­ следнего. Между модулями G и Е сущест­ вует следующее соотношение: у X 0 0 0 0 L& = L {l-ap)(l+auq) (9) или с достаточной для практич. целей сте­ пенью точности 0 Ь& = Ь [ 1 - а р ( 1 - 2 ^ ) ] 0 (10) (11) Сравнивая ф-лы (10) и (8), получаем: a& = a ( l - 2 | ^ ) . Величина отношения ~ определяется таким образом. Ребро 85 находится под воздейст­ вием следующих противоположных влия­ ний, вследствие к-рых оно сохраняет свою величину. Давления q на грани 1265 и 3487 изменяют длину 1 в l (l — aq); давления q на грани 1584 и 2376 изменяют ее допол­ нительно в длину l (1 — aq) (1 + uaq) YL нако­ нец давления р изменяют последнюю длину в i (1 — aq) (1 -f- uaq) (1 -f- uap), причем в ре­ зультате получается та же длина 1 . Таким образом имеем: 0 0 0 0 0 J = Z ( 1 - « ? ) ( ! + uaq)( + иар), 0 0 (12) или 1 = (1 - aq) (1 + uaq) (1 + uap), откуда попучаем с достаточной для прак­ тики степенью точности: - q + uq + ИР 0, или <1 _^ (13) = р 1-м" (1 + f i ) ( 1 - 2 Л ) l-A* Подставляя значение (13) в (11), имеем: a = a или E& = E 1-^-2^2 l-м = a 1-/" (14) (15) (1+Ж1-2М) Следовательно между модулями E и E&, с одной стороны, и между величинами а и а & ,