* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

219 то имеем из (201): M EX АНИК А ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ 220 2 l n п (Fi • drd =2 l п Д л я кинетической энергии L системы точек, принимая во внимание ( 2 6 & ) : d L i= > dL (203) п п т ? ь = = *2 ^ 1 п 1 х = 2 2 * & + А + *?) т 2 г где L = 2 А» - т e в этом частном случае сумма элементарных работ всех движущих сил равняется сумме диференциалов живых сил точек системы. Интегрируя ( 2 0 3 ) в пре­ делах от t до t , получаем, что полная рабо­ та всех движущих сил за какой-нибудь про¬ межуток времени равняется изменению сум­ мы кинетич. энергии всех точек системы за тот же промежутоквремени. Это предложение имеет место, если ур-ия связей не содержат ts явной форме, в противном же случае сумма работ сил реакций при действительных пере­ мещениях точек системы не равняется нулю, поэтому надлежит учесть и работу послед­ них сил. В общем среди движущих сил F могут быть как потенциальные, так и непо­ тенциальные силы. Сумма элементарных ра­ бот первых сил равняется пп ( 1 3 3 & ) — dU, где U = ^,Uj, a Uj—силовые функции, со­ ответствующие имеющимся потенциальным силам; сумма элементарных работ непотен­ циальных сил: x t { 12 1 п + о) + (А + к) + п m &+z y] 0 = п ?n т = 2 где < w i* + 2 u ° 1S * + 1 2 п т ^+ ( > 208 2 + 2 iy<>y&i + 21 **&• 1 m 2 2 0 t п v& = fx&* + у& + г& и г- =Yx% + у + г суть линейные скорости точки A по отно­ шению к системе О & и точки О& по отноше­ нию к системе О соответственно. Пусть да­ лее координаты центра масс системы точек по отношению к системе отсчета с началом О& будут х, у, z. Тогда на основании ( 1 7 1 ) : ж - 2 * = 2 ^*& т W У-2 i m = S i^&"> m * - 2 * 2 »*«m e m fe=i 2*" dr = dA, k (204) Если точка О& совпадает как раз с центром масс, то, так как ж = 0 , у=0, z=0, получим: 2 = 0 ; 2 iVi и следовательно m где JF"—непотенциальные торых v. Тогда имеем: ^Ffdrt^-dU+ или по (203): силы, число ко­ - О". 2 т & = ° > =0 2 ^ 4 = 0 ; 2 ш * й = ° ; dA, (205) В этом случае следовательно три послед них члена левой части равенства ( 2 0 8 ) рав­ ны нулю, так что получаем: 2 ^& m dL = -dU+dA, d(L + U)-dA. (206) Так как кинетич. энергия L системы зависит от скоростей точек и так как эти скорости— понятия относительные, то и кинетич. энер­ гия системы точек есть также величина отно­ сительная, зависящая от состояния системы отсчета. Допустим, что имеются две системы отсчета: одна с началом О, не связанным с дан­ ной системой точек, и другая с началом О&, неподвижно связанным с системой точек. Пусть г и г (фиг. 55) суть ра­ диусы-векторы, опреде­ ляющие положение точ­ ки А по отношению к системам О и О & соответственно, а г — р а д и ­ ус-вектор, определяющий положение точки О& по отношению к системе с началом О. Тогда имеем: «% = r j + г , { { 0 0 ь •= 4 «г 12 i + 112 **?m т п п ( &> 208 Т . о. кинетическая энергия системы точек равна сумме кинетической энергии центра масс, если в нем сосредоточить массу всей системы, и кинетической энергии системы в ее движении относительно системы от­ счета, имеющей начало в центре масс. Основной динамический закон движения, выраженный ур-ием ( 1 9 8 ) , допускает еще ряд других формулировок, имеющих в конечном итоге один и тот же физич. смысл. К числу последних принадлежит так наз. п р и н ­ цип наименьшего действия, или п р и н ц и п Г а м и л ь т о н а . Так как ур-ие ( 1 9 8 ) справедливо для любого момен­ та времени, то, умножив ур-ие на dtvi про­ интегрировав результат в пределах от t до t , получим: x 2 / dt [ 2 (х - т ;*) бх d + 2 (у - « 2) *у+ (209> или, что то же самое, Беря производные по времени от последних равенств и обозначая производные точкою над соответствующей переменной, имеем: Xf= щ + ж,; у, = у + у : z 9 ( = г + z. % (207) где индексы г для упрощения опущены. В по­ следнем ур-ии следует рассматривать как функции времени не только координаты x , y ^ Z i , но и вариации 6х ,6у ,6г/, что вытека­ ет из следующих соображений. Допустим, что все координаты точек зависят не только от t, но еще и от цек-poro параметра ц. Опреt { { +2 ( Z - m ^ ) ^ ] = 0,