* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

213 МЕХАНИКА ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ 214 уничтожила бы действие силы Z. Если тело имеет только одну закрепленную точку О, то, приведя систему сил к этой точке, нетрудно видеть, что сила F уничтожается реакцией неподвижной точки, так что остается пара момента М. Следовательно для того, чтобы тело в рассматриваемом случае находилось в равновесии, необходимо и достаточно, что­ бы М = 0, т. е., как видно из ( 1 7 9 " ) , чтобы имели место следующие 3 ур-ия: 1 п 2(2iX,-^Z ) = 0 f (185) 1 равной Следовательно для того что­ бы вся система находилась в равновесии, необходимо, чтобы F , + J2«-0 (i-1, 2 n), (187) что равносильно наличию Зп ур-ий Х + Х& =0; Y + Y;=0; Z,+ Z&-O (г = 1 , 2 п), (187&) где Х , Yi, Z,—модули компонент 22 по осям координат. Выше было показано, что в случае одной несвободной точки сила R будет нормальна к кривой или к поверх­ ности, осуществляющей связь, и что следо­ вательно полная работа Т& силы JB рав­ на по (158&) нулю: & dT& *=R dr~0; Т& = Jlt-dr = 0. { ( t { г 2№-2/^) =0 Т . о. при наличии тела, имеющего непод­ вижную ось вращения, необходимо и доста­ точно для равновесия одно условие (183); если эта ось мож;ет перемещаться вдоль соб­ ственного направления, требуются два усло­ вия—(183) и (184); если же тело имеет лишь одну неподвижную точку, требуется уже для равновесия тела три условия (185). Отсюда следует, что чем тело свободнее, тем больше условий, налагаемых на силы при равновесии тела. Тело, имеющее непо­ движную ось, обладает одной степенью сво­ боды, так как положение тела определяет­ ся одним параметром—углом поворота тела около оси; в соответствии с этим имеется только одно условие равновесия. Если эта ось может перемещаться вдоль своего на­ правления, то тело обладает уже двумя сте­ пенями свободы, и в связи с этим имеются два условия равновесия тела. Если тело на­ конец имеет одну неподвияшую точку, то, так как положение тела определяется тремя параметрами (см. Координаты), имеются 3 условия равновесия и т. д. Допустим, что имеетсятематериальных то­ чек А , А , ..., А , координаты которых со­ ответственно x V^Zi, х , у , z , ...; х , у , z и к к-рым прилонсены силы F , F , F. Допустим далее, что эти точки находятся под воздействием нек-рых связей, что аналити­ чески выражается в том, что З п координат точек связаны между собою некоторым чис­ лом уравнений: г 2 п lt 2 2 2 п п n t 2 n Несмотря однако на то, что при наличии системы несвободных точек реакции свя­ зей м. б. совершенно другие, чем реакции кривых линий или поверхностей, условие (158&) имеет место и в данном случае, так что j R r f r = 0, и следовательно r f 2 - R i - d r , = 0. (188) Последнее ур-ие, являющееся основным ура­ внением движения системы несвободных то­ чек, м. б. интерпретировано след. обр.: реак­ ции связей, действующих на систему матери­ альных точек, не могут в своей совокупности ни поглощать ни давать работу, хотя для от­ дельных сил реакций это является возмоясным. Это предложение стоит в связи с прин­ ципом сохранения энергии, ибо, поскольку осуществление связей не влечет за собой ни затраты энергии ни получения таковой, по­ стольку реакции связей не могут ни погло­ щать ни давать никакой работы. Исходя из (158), (158&) и (188), можно в отношении сис­ темы точек притти к точно таким нее выводам, что и в отношении одной материальной точ­ ки, а именно: точки рассматриваемой не­ свободной системы, находящиеся сначала в покое, начинают каждая свое движение по направлению соответствующей равнодейст­ вующей сил F и R , так что в начальный эле­ мент времени имеем: t t п +Щ-dr> 1 0, (189) A K ii 2/i> %ъ а» 2 г 2i • • ••> ni Уп> n) /> x ж z x z z х 2 х z = = О < 1 8 6 или, принимая во внимание (188): п > J}Fidr >0. t (190 /Р Уи \ 2У Уг-> г&> •••> п> Ут n) 0 ) число к-рых пусть будет р. Из общего числа Zn координат Зп—р м. б. взяты совершенно произвольно, а остальные р координат м. б. выражены через произвольно взятые при помощи ур-ий (18G). Поэтому число Зп—р и определяет с т е п е н ь с в о б о д ы рассма­ триваемой системы точек. Очевидно, что р не м. б. больше Зп. Если р = 3и, то коорди­ наты всех точек системы вполне определяют­ ся из (186», т. е. система неподвижна; если же р = 0 , то все точки системы свободны. Пусть равнодействующая всех реакций связей, действующих на- какую-либо точку А системы, равна Щ (i=> 1, 2, п), так что эта точка находится под действием силы, х 1 Т . о. в начале движения сумма элементарных работ всех движущихся сил F положитель­ на. Если же в числе всех возможных переме­ щений, допускаемых данными связями, нет ни одного, для которого неравенство (190) имело бы место, то очевидно, что система в движение притти не может; другими слова­ ми, необходимым условием для равновесия системы несвободных точек является нера­ венство: t (191) где символом бг обозначены в о з м о ж ­ н ы е , или в и р т у а л ь н ы е , т. е. допус(