* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
201 МЕХАНИКА ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ 202 б о д ы точки, находящейся под действием связей. Точка следовательно имеет 3, 2, 1 и 0 степеней свободы в заврюимости от того, перемещается ли она свободно по поверхно сти, по кривой или совершенно неподвиж на. Ур-ие движения (149) м. б. представле но еще и в следующем виде: F + Ж + (- та) = 0, (153) что м. б. интерпретировано след. обр. Д о пустим, что кроме сил F и Ж к точке при ложена еще одна сила Q - та. (154) Тогда, как это видно из (153), все три силы взаимно уравновешиваются. Эта фиктивная но отношению к движущейся точке сила Q называется с и л о ю и н е р ц и и . Т . о. по лучается, что данная материальная точка, находящаяся под действием сил F и Ж, дви жется так, что в каждый момент движения силы F, Ж и сила инерции взаимно уравно вешиваются. В этом собственно и заключа ется т. наз. п р и н ц и п , или н а ч а л о , Д & А л а м б е р а . Равнодействующая сил F и Q, равная — Ж, называется п о т е р я н н о ю с и л о ю (фиг. 4 6 ) . Очевидно также, что сила инерции Q по величине своей ра вна эффективной силе Ф, но по направлению противоположна последней, так что Q = — Ф. При всей своей простоте принцип Д & А л а м бера во многих случаях значительно облег чает исследование законов движения точки, сводя вопрос о движении точки к вопросу о ее равновесии. Допустим, что материальная точка вы нуждена перемещаться по неко орой кривой С. Спроектируем силы F, Ж и Q на направ ления: касательной к кривой, проведенной в сторону движения точки, главной норма ли, проведенной к центру кривизны кри вой в рассматриваемом положении точки, и бинормали (фиг. 4 7 ) . Так как Ж нормаль на к кривой, т. е. Ж±т , где г попрежнему единичный вектор, определяющий на правление касательной, то, обозначая ком поненту F по касательной через F , име ем из (117) и (149): т х г t где F и Ж суть компоненты сил F и Ж по бинормали. В виду того, что Ж при аб солютно гладких связях всегда нормальна к траектории точки, находящейся под дей ствием этих связей, то полная работа Ж при любом перемещении точки равняется нулю, что справедливо и для вышеуказан ных крайних случаев (Ж = 0 или v *= 0). Таким образом b ь J Ж • dr = 0. (158) Допустим, что точка, находящаяся под дей ствием связи, представляемой поверхно стью S, начала перемещаться из состояния покоя под действием сил F и Ж. Это дви жение в начальный момент происходит по направлению равнодействующей их, т. е. по направлению эффективной силы Ф. Оче видно, что элементарная работа обеих сил в этот момент положительна, так что (F + Ж) • dr > 0 и так как Ж-dr^O, то F • dr > 0, dr) > 0. (158&) т. е. F dr cos (F, dr) > 0 или cos (F, Отсюда видно, что начальное элементарное перемещение dr образует с силою F острый угол. Если сила F потенциальна, то так как по (133&) dT = F- dr = — dU, то следова тельно в рассматриваемый момент dU < 0, (159) т. е., другими словами, при начале движения потенциал U должен убывать. Отсюда сле дует, что если среди всех возможных элементар ных перемещений, допу скаемых данной связью, нет ни одного, при к-ром с, бы потенциал U убывал, " то точка под действием сил F и Ж не может притти в движение и сле довательно будет нахо диться в равновесии. Та Фиг. 4 7 . кой случай может пред ставиться напр., если точка находится на поверхности & в таком положении, при ко тором U принимает максимальное или ми нимальное значэния, так как в этом случае при всех возмояшых элементарных переме щениях, допускаемых связью, dU = 0. В слу чае, если в качестве силы F является вес ма териальной точки J P = mg, то так как в этом случае по (146)« dU = mg dz и так как в начале движения dU < 0, то в этот же момент dz < 0, т. е. весомая точка начинает двигаться под действием сил JP и Ж так, что z убывает, т. е. начинает двигаться вниз. Т . к. работа силы Ж при движении точки равняется ну лю, то ур-ия (125) и (125&) применимы и для несвободной точки, рассматриваемой как точка, к которой как будто бы никакие ре акции связей не приложены. Если же сила F dv t it i = °T n п (155) Обозначая компоненты F и Ж по главной нормали через F и Ж , имеем из (118) и (149): F n + R n - в ei = 0. (156) главной (156&) Компонента силы инерции Q по нормали Qn =- -- Qi называется ц е н т р о б е ж н о й силой и н е р ц и и . Если точка движется по окруж ности с угловой скоростью со, то, так как v=cor и е = г , имеем: Q = — mco r Q (156") При равномерном круговом движении Q = Q. Т . к. далее по (47) проекция полного уско рения а на бинормаль равна 0, то из (153) имеем также F + Ж = 0, (157) n 2 n b ь