* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
199 МЕХАНИКА ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ 200 деле, если оси координат Ох и Оу взять в горизонтальной плоскости, а положитель ное направление оси Oz взять вертикально вверх, то Х = 0; Г = 0; Z = ~mg. (145) Так как условия (132) при этом удовлетво ряются, то сила J P потенциальна. Д л я того чтобы найти соответствующую потенциаль ную функцию, имеем из (133&), принимая во внимание (145), -dU = X dx + Г dy + Z dz = -mg dz, (146) откуда интегрируя получаем: U = + mgz + С. (147) Если точке, имеющей ординату z = z , соот ветствует потенциал U , то из (147) находим: 0 0 з е й . Очевидно представляется возмолшым найти такую силу, действие которой могло бы заменить действие данной связи; такая сила называется р е а к ц и е й , или с ил о й , с в я з и . Прибавив реакцию R дан ной связи к данным силам, приложенным к точке и имеющим равнодействующую F, можно будет опять рассматривать точку как свободную, к к-рой приложены силы F и R, так что ур-ие двия^ения точки бу дет по (107): m d t - - F + l i - (149) С = U — mgz , 0 0 так что U = mg(z-z ) + U. (147&) Ур-ие поверхности уровня с7 = Const дает в данном случае: z = Const. Т . о. поверх ности уровня представляют собой в рас сматриваемом случае горизонтальные плос кости. Пусть точка переместилась из поло жения А , где потенциал U , в положение А , где потенциал Z7 (фиг. 4 5 ) . Полная ра бота силы тяжести Р при этом перемеще нии по (134) и (147&): T=U -U = [mg(z - z ) + I7 ] -[mg(z -z )+U ]=mg(z -z )=P(z -z ), (148) где z и z представляют собой координаты соответствующих положений точки. Т . о. 0 Q х x 2 2 X 2 x 0 0 2 0 Q x 2 x 2 x 2 ф/ / Q=—ma Фиг. 4 5 . Фиг. 4 6 . работа силы тяжести при всяком перемеще нии весомой точки равняется произведению величины силы. Р на разность высот полб жений точки. Очевидно, если точка пере мещается в горизонтальной плоскости, то, так как разность высот равна нулю, работа силы тяжести также равняется нулю." До сих пор мы рассматривали движения лишь т . н . с в о б о д н ы х точек, т. е. то чек, подвергавшихся воздействию только нек-рых сил, из к-рых каждая стремилась сообщить точке определенное движение. Но имеются случаи, когда на движение данной материальной точки помимо данных сил влияют еще и другие причины, как напр. воздействие данной поверхности или кри вой, по к-рым материальная точка вынуж дена перемещаться (тело, перемещающ еся по данной поверхности, шарик, перемещаю щийся внутри трубочки и т. п . ) . В послед нем случае точка называется н е с в о б о д н о й или находящейся под действием с в я 4 Равнодействующая Ф = F + 12 называется эффективною силою в отличие от F, назы ваемой силою д в и ж у щ е й . Если реак ция связи R не дана, то очевидно, что ур-ия (149) недостаточно для определения движе ния точки, т. к. содеряшт в сущности три неизвестных компонента силы R по осям координат, вследствие чего является необ ходимым получить три новых ур-ия. Если точка вынундана перемещаться по нек-рой поверхности S, то ур-ие этой поверхности f(x,y,z) = 0 (150) и представляет собою одно из необходимых дополнительных ур-ий. Если же точка вы нуждена перемещаться по нек-рой кривой С, то ур-ия этой кривой . Ш, y,z) = 0 (151) U(x, У, z) = 0 f представляют собой два из необходимых дополнительных ур-ий. Три ур-ия U(x, у, z) = 0 f (x,y,z) = 0 } (152) U(x, V,z) = 0 ) дают только одно определенное положение точки, так что перемещение последней ока зывается невозможным. Если связи а б с о л ю т н о г л а д к и е , т. е. если реакция связей не имеет тангенциальных компонент, то R нормальна как к поверхности S, так и к кривой С. Принимая это обстоятельство во внимание, получаем два уравнения, вы ражающих перпендикулярность R к поверх ности S, и одно ур-ие, выражающее перпен дикулярность R к кривой С И в том и в другом случае мы следовательно полу чаем по три добавочных ур-ия, необходимых как для полного определения движения точки, так и для нахождения неизветных компонент реакций связи R. Распростра няя этот вывод и на крайние случаи абсо лютно свободной и абсолютно- несвободной точек, можно сказать, что в первом случае эти три добавочных уравнения дают условие R = 0, а во втором—условие v = 0. При • на личии поверхности S можно две из перемен ных величин х, у, z выбрать произвольно, а третью определить через первые две из уравнения (150). Произвольно взятые коор динаты называются с в о б о д н ы м и (см. Координаты). При наличии же кривой С можно произвольно взять только одну из трех координат, а оставшиеся две опреде ляются через первую из ур-ий (151). Так как в п рвом случае точка обладает большею свободою движения, Чем во втором, то число свободных координат принимается как ве личина, определяющая с т е п е н ь с в о 2