* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

197 МЕХАНИКА ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ т. к. (r • r . ) = 1 , a (r Обозначая x 198 • dr ) = 0, ибо r ± dr . x x x где С—нек-рая произвольная постоянная. Меняя значение постоянной С, получим це­ лое семейство эквипотенциальных поверх­ ностей. Проведем из какой-либо точки О (фиг. 43) поверхности уровня U(x, у, z)= С нормаль п к последней и пусть эта нормаль образует с осями координат углы а, р, у. Тогда имеем на основании выводов диференциалъной геометрии (см.): x зи дх cos а .дх ду ) dU ду + dz ) cos р (138) cosy dU_ dz Пусть, с другой стороны, линия действия силы F, действующей в точке О, образует с осями координат углы а&, Р&, у&. Из ра­ венств (109), (110) и (138) имеем: X cos а = — = /X +Y + Z, 2 2 2 т J f(r)dr + C=U, (141) имеем из (140): dT = — dU, или T=U -U , что и доказывает свойство консервативно­ сти всякой центральной силы, а вместе с тем и то, что она потенциальна. Ур-ие по­ верхности уровня будет по ( 1 3 7 & ) : d t / = 0, или / ( r ) d r = 0; d r = 0; г = Const, т. е. поверхности уровня представляют кон­ центрические шаровые поверхности, центр которых совпадает с центром О. В част­ ности сила взаимного тяготения, действую­ щая по закону Ньютона как сила централь­ ная, есть в то же время и сила потенциаль­ ная, так что по отношению к ней применимы все выводы, сделанные выше по отношению X Z dU dx = COS a cos р = cos Р&, cos у = cos у&. Т . о. потенциальная сила F направлена по нюрмали к поверхности уровня, проходя­ щей через точку приложения F. Это же можно усмотреть и непосредственно из фор­ мулы (133), исходя из самого понятия гра­ диента функции U. Так как по определе­ нию все точки поверхности уровня имеют один и тот я*е потенциал, то из (134) имеем: 1) полная работа потенциальной силы при перемещении точки по поверхности уровня равняется нулю и 2) работа потенциаль­ ной силы по произвольному незамкнутому контуру, имеющему крайние точки на од­ ной и той же поверхности уровня, равна 0. Нетрудно видеть, что всякая централь­ ная сила есть сила потенциальная. В са­ мом деле: допустим, что имеется некоторая центральная сила F, линия действия к-рой проходит через центр О и величина к-рой F эависит от расстояния АО = г, где А— точка приложения силы F (фиг. 44), так что JP-ftr). Если г —единичпый вектор, определяющий направление OA, то вследствие централь­ ности силы F имеем: F = ± Fr = ± f(r)r , (139) причем знак ( + ) соответствует случаю о тт а л к и в а ю щ е й от О силы, а знак (—) соответствует случаю притягиваю­ щ е й к О силы. Элементарная работа силы Сравняется, на основании (120) и (139): dT = F• dr = ± fir) (r -dr) = = ± f(r)dr (r • r ) ± f(r) • r(r • dr ) = = ±/(r)dr, (140) х x x x x x x x и аналогично: Фиг. 4 3 . Фиг. 4 4 . к потенциальным силам вообще. Если пме-> ются две материальные точки, массы кото­ рых равны m и т& и которые отстоят друг от друга на расстоянии г, то, как извест­ но, величина силы взаимного притяжения, действующая между ними, прямо пропор­ циональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату их взаимного расстояния. Если точку массы т& поместить в точке О, то сила притяжения F, дейст­ вующая на точку массы, F- fc^n, (142) где к—некоторый универсальный фактор пропорциональности. Обозначая km& через ft , имеем также Я = -—-г (142&) 2 х Сравнивая равенства (142&) и (139) и при­ нимая во внимание, что в данном случае F есть сила притяжения, имеем: /(r) = ^ так что по (141): U = f ^ d r m , = - ^ (143) . (144) ^ ^ 0 m f & ; 2 + C Если при г = г потенциальная ф-ия Z7 имеет значение ZJ„, то из (144) имеем: U = - ^ Q т + С, или C=U 0 + " t m г 0 так что U = -A*»ro(*-* ) + U.. e (144&) Нетрудно видеть, что сила тяжести F*=mg есть также сила потенциальная, В самом *7