* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
201 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ 202 При плоскостном Н . с. тетраэдр, показан ный на фиг. 1, приводится к треугольн.призме (фиг. 3) с бесконеч но малыми сторо нами dx и dy и дли ной по оси z, рав ной единице. В этом случае напряжения = V = 0 - Если же обозначить угол наклона площадки v к оси х-ов через а, то напряжение Фиг. з. п„, нормальное к этой площадке, определится следующим вы ражением: v = n sin + п cos а = = п s i n а + п cos а + t sin 2а, (10) и напряжение t , касательное к ней, опре делится выражением: h = vx COS а — П Sin а = = |-(Wa, — Пу) sin 2а + z^, cos 2а. (11) n а vx 2 2 ту я у xy v n п жения определится после подстановки значе ния tg 2a в выражение (11): а «i = -~ у (и* - п ? + Щ Х = - t . (16) Величины напряжений по различным плос костям сечений, проходящих через точку, м. б. определены графически при помощи круга Мора. На фиг. 4 построен круг Мора на главных напряжениях п и n (в дан ном частном случае значения п и щ взя ты разных знаков, а именно: п —положи тельное, а щ — отрицательное). Разность этих напряжений [п — п ] образует диа метр круга. Если взять какую-либо точку С круга и опустить из нее перпендикуляр на диаметр, то из чертежа нетрудно видеть, что 0D=-(n + n ) — * ( f t - c o s 2a = п , у у % x г s г х 1 2 1 i x у CD= (щ-щ) sin %a=t , xy т. е. отрезок OD по диаметру круга, абсцисса точки С, определяет величину мального напряжения п в плоскости наклоненной под углом а к главной оси ч как нор С1, (13), Наибольшие значения нормального и каса тельного напряжений определяются из ус ловий: - ^ = 0 и ^ = 0. da По первому из этих условий будем иметь: 2%cosa sina —2п^в1Па соаа -f 2 ^ c o s 2 a = 0, откуда следует, что площадка с наибольшим нормальным напряжением наклонена к оси х-ов под углом tg2a ~^kv (12) 1 1 г г x 1= d 2 с Выразив величины cos a и s i n а~в функции угла 2a , из (10) получим: 2 2 x » = | (ю* + P - 2 ( х~п ) cos 2 a + s i n 2а . (13) Подставив в него значение cos 2a и sin 2a из (12), получим выражения главных напря жений, максимального—п и минимально го—п в таком виде: w W п у x г г х г п Фиг. 4. Фиг. 5. x г={п х + п ) + -у/~ (n -n yу x y x + 4t ; xy и отрезок CD определяет величину каса тельного напряжения t в той ж е плоско сти (11). Напряжения п и t в плоскости перпендикулярной определяются отрезками OD& и D&C&. Из чертежа видно, что истин ное положение и величина напряжений в этих площадках определяются отрезками yx х xy l(n + п ) - * j / " (п - n f у х y 1 3 +Л/ И 2 Ху , • (14) оба напряжения п и % взаимно перпенди кулярны. Из сложения их вытекает, что i + Щ = ^ + n = Const. Из выражения ( И ) касательного напряже ния t видно, что д л я главных плоскостей течения f = 0 . Наибольшее значение каса тельного напряжения определяется из ус ловия } = 0, т. е. n ж y v d p р = Yn +tj и р& = Vnf+lfy. На фиг. 5 показан круг Мора д л я случая чистого сдвига, когда x &яии=у[«1-(-Иа)] = И . 1 (17) г da x & у 2 xy a (w — п ) cos 2a — 2t sin 2a = 0, которое удовлетворяется при условии tg 2а, (Пх-п ) (15) 2t t g 2 a из чего следует, что площади сечения с наи большим и наименьшим значениями каса тельного напряжения направлены под углом «а = i + 45° и а ^ а ^ 135° к координатным плоскостям или под углом 45° и 135° к глав ным плоскостям сечеция. Величина наибольщего f! и наименьшего t касательного напря = у = 1 xy 1 a 2 На фиг. 6 сделано построение эллипса на пряясений на полуосях 01 = п и 02=п и кривых (роза), характеризующих развитие нормальных и касательных напряясений по направлению любых плоскостей. Д л я по строения этих кривых проводим на круге Мора ряд плоскостей сечений 1—a, 1— 1—е. и такие же плоскости проводим через центр эллипса. Откладывая по направлению перпендикуляра к каждой из этих плоско стей отрезки Oa&, Ob&, Ое&, получаем по ним кривые 2 а& Ь& Ос&d& e&i, характери зующие изменение величин наибольших нормальных напряясений. Откладывая в самих плоскостях отрезки Oa", Ob",Ое", получим кривую Оа" Ъ" с" й" е" О (на фи гуре 6—пунктирная), определяющую вели чины касательных напряжений в различт г