* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

199 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ 200 Подставив значения косинусов в выражение (5) напряжения п^, получим: п &+п ,У +п г + . + Мху ХУ+ M yz + 2t, xz = l, (7) т. е. уравнение второго порядка. Изменяя на­ правление координатных осей, можно вы­ брать такое направление их, что коэф-ты при членах с произведением координат будут ра­ вны 0. Д л я таких осей слагающие касатель­ ные напряжения будут равны нулю, и оста­ нутся только нормальные напряжения. Пло­ скости, к к-рым относятся эти оси, носят на­ звания г л а в н ы х п л о с к о с т е й с е ч е ­ н и я , а относящиеся к ним нормальные на­ пряжения—главными н о р м а л ь н ы м и н а п р я ж е н и я м и п , п и w . Величи­ ны этих нормальных напряжений определя­ ются корнями кубического ур-ия: - и + (п + п + n ) п*-(п п + п п^-г+ ПП: l$j t — t) + (У>хх Пуу Щг ~Ь -f- 2t t ty — П t 7ly t — Yl t ) = 0. (8) Оно получается из ур-ия (2) подстановкой в него вместо величин X , У„, Z значений их. к-рые выражены через главные напряясения п: X„ = wcos (v,x)) r „ = n c o s (v,y) Z — ncos (v,z) и исключением из полученных этим путем трех ур-ий косинусов углов, связанных ме­ жду собой условием cos {у, х) + cos (v, у) + cos (у, z) = 1. (9) Из (6) и (7) непосредственно tvg dxdz • Ц + [tyz + dl* dy) dxdz • f - но, выражений нормальных напряженийвид­ что сумма не­ d z зависимо от направления координатных осей ~tsy dydx • 2 - (tzy + dz) dxdy • ^ = 0. есть величина постоянная: Пренебрегая бесконечно малыми высшего + Пуу + n = щ + « + щ = Const. (4-го) порядка, получим: Если отложить отрезок п по направлению нормали к плоскости v от начала координат t dxdzdy — t dxdzdy = О, главных плоскостей, то координаты верши­ откуда ны отрезка будут: tyz — Аналогично может быть доказано, что х = n = щ cos (v, ж); у = n = n cos (v, у); %ху ^ух И t =• t . z = n = n cos(v,z); Эта взаимность между касательными напря­ но так к а к косинусы углов связаны усло­ жениями приводит к тому, что д л я определе­ вием (9), то ния слагающих напряясений в любой пло­ 1; скости надо знать шесть элементов соста­ п{ ni п& вляющих напряжений в трех координатных след. при вращении площадки полное нор­ плоскостях. Проекция напряжения в плоскости v на мальное напряжение к ней при различных нормаль к этой плоскости определится как положениях ее определяется отрезками, вер­ шины к-рых очерчивают поверхность эллип­ сумма проекций составляющих соида, называемого э л л и п с о и д о м н а ­ п = X cos (v, х) 4- Y cos (v, у) + п р я ж е н и й . Когда одно из главных на­ + Z cos(v, z), & (4) пряжений обращается в нуль, то эллипсо­ или, подставив значение X , Y и Z и сде­ ид обращается в эллипс, и напряя^ения д л я всех полоясений площадки будут лежать в лав приведение, получим: одной плоскости; такое состояние тела на­ п = п cos (у, х) + w^cos (v,y) + зывается п л о с к и м н а п р я ж е н н ы м с о ­ - f n cos (v, z) + 2t COS(V, x)cos(v, y) - f с т о я н и е м (плоская задача). Если два -f-2f cos(v, y)co${v, z) + главных напряжения обращаются в нуль, + 2t . cos(v,x)cos(v, z). (5) то получится л и н е й н о е н а п р я ж е н ­ Если площадка v поворачивается вокруг то­ н о е с о с т о я н и е . Большинство технич. чки О и если в соответствии с ее поворотом задач приводится к плоскостному и линей­ откладывать по нормали к площадке отрез­ ному Н . с , которые представляются более ки Q= UVn , то координаты концов это­ простыми д л я решения, чем пространствен­ ные, и рассматриваются в курсах сопротив­ го отрезка будут: ления материалов. Вопросы о пространст­ х = Q cos (гз, ж); y = Q cos (v,y); венном напряженном состоянии рассматр»Z = q COS(v, z). (6) ваются в курсах теории упругости. щади остальных граней тетраэдра опреде­ лятся величинами co cos (х, v), co cos (у, v) co cos O, v). Из условия проекции на каждую из осей после & экращения на a> получаем: Х^ПдаСовСж.иЗ+^сов (y,v}+t„ cos(z,v) Y =n cos(y,v)+t cos (x,v)+t eosO.v) V.(2) Z, =n cos (z,v)+t cos ,v)-M«cos(;c,v) 7 Таким образом слагающие напряжения по плоскости v опре­ деляются девятью слагающими напря­ жений по коорди­ натным плоскостям тетраэдра. Из рас­ смотрения прямоугольн. параллеле­ пипеда (фиг. 2), ко­ торый вырезан из тела у той ж е точ­ ки, следует, что су­ ществует такая вза­ имность по равен­ ству касательных напряжений между Фиг. 2 собой: ^ху ~ tyx yz — "eyt ^zx ^xf (3) Действительно, из условия моментов всех сил, приложенных к параллелепипеду, отно­ сительно осей, проходящих через ц. т. его, для оси параллельной оси х-ов имеем: v v t v v v yy xy zy zz y3 = г г хх 1П а yz lx п 22 33 8 хх уу zz хх w уу уу гз хх z xy Zx xy xz Z хх yz y xz zz yx v v v ? 2 2 zz 2 т yz zy vx vy 2 а zx xz vz 3 т v v v v v v 2 2 т хх 2 M xy ys 3 3 vv